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lunes, 9 de diciembre de 2019

Los tamaños del infinito 002 (2.0.0)


Muchos cambios en el diseño del ensayo, además de algunas supresiones en su contenido. Pasó de no tener secciones a tener varias. En relación con cómo se veía antes de recién el ensayo (la segunda versión de “Los tamaños del infinito 001 (1.0.0)”), ahora se ve así:






1. De conjuntos, selecciones y subconjuntos

   Podemos seleccionar los miembros de un conjunto de a 1, de a 2, de a 3, etc; podemos seleccionarlos, en general, hasta de a n (siendo n el número total de miembros que tiene el conjunto). Cada una de estas selecciones forma un conjunto que está incluido en aquel al que pertenecen los miembros seleccionados; se trata, por lo tanto, de un subconjunto suyo. Luego, un conjunto A1 es un subconjunto de un conjunto A si todos sus miembros son también miembros del conjunto A. Así de simple, pero así de relevante al momento de comparar tamaños. Antes, enumeremos los tipos de subconjuntos que puede haber (más uno que no):
       1) La alternativa de seleccionar los miembros de a 1 hace que con cada uno de ellos se pueda hacer un subconjunto; siendo así, la cantidad de subconjuntos unitarios que puede tener un conjunto es igual a la cantidad de sus miembros.
       2) Mientras no podamos seleccionar miembros de a más de los que hay, no podrá haber un subconjunto que sea mayor que el con­junto.
       3) Como podemos seleccionar de a tantos como hay, sí puede haber un subconjunto (y sólo uno) de igual tamaño —y composición— que el con­junto; se dice entonces que to­do conjunto es subconjunto de sí mismo (o sea, está incluido en sí mismo, ya que todos los miembros de la selección máxima son miembros a su vez del conjunto sobre el que se la realiza).
       4) La abstención de toda selección también forma un conjunto: el conjunto vacío, Ø, donde no hay miembros seleccionados. Como esa abstención es posible en todos los ca­sos, el conjunto vacío es subconjunto de cualquier conjunto.

2. Menú de postres, combos y conjunto potencia

   Supongamos que he almorzado y llega el momento del postre. El restaurante del Hotel Hilbert es modesto: el menú sólo incluye flan, helado y torta. Mis opciones no son misteriosas: puedo elegir uno de esos postres, algunos, todos o ninguno. La relación que hay entre un conjunto y sus subconjuntos es la relación que existe entre un menú y sus opciones de combinación.

   Se suele llamar “combos” a las combinaciones plurales (ni unitarias ni vacías) de los items de un menú, armadas para hacer ofertas. Pasando por alto esta motivación comercial y aquel requisito cardinal (¿qué sentido práctico puede te­ner hacer un combo unitario o uno vacío?), llamaremos “combo” a cualquier selección de piezas de un menú, incluso a aquella que renuncie a todas, a ninguna, o a todas menos una. En nuestro caso, el menú consiste en un conjunto de pos­tres; un combo, en un conjunto integrado por al menos uno de esos pos­­tres (es decir, uno, algunos o todos) o por ninguno.

   Cada postre del menú tiene sólo dos alternativas en relación con un combo: figurar o no en él. (Traducido a términos conjuntistas, cada miembro de un conjunto tiene dos alternativas en relación con cada subconjunto: per­tenecer o no a él.) El número de combos es una relación entre el número de alternativas que tiene un postre en un combo y el número de postres que ofrece el menú: 23= 8 combos u opciones de combinación, en nuestro ejemplo; y generalizando, un conjunto de n miembros tendrá 2n subconjuntos. Al conjunto cuyos miembros son los subconjuntos de un conjunto cualquiera A se lo llama conjunto potencia de A; en símbolos, P(A).

2.1 Subconjunto propio

   Cualquier subconjunto que no sea el subconjunto que selecciona todos los elementos disponibles (es decir, cualquier subconjunto que no coincida con la totalidad) es un subconjunto propio del conjunto en cuestión. Pa­ra ser más preciso, to­dos los elementos de un subconjunto propio de A son también elementos de A, pero no a la inversa: debe haber al menos un elemento de A que no sea elemento del subconjunto para que éste sea un subconjunto propio, es decir, para que se trate de un conjunto incluido en A que sea diferente de A.
   Una relación recíproca de inclusión entre dos conjuntos —donde todos los miembros del primero son miembros del segundo, y viceversa— implica la identidad entre sus miembros, lo que a su vez implica la identidad de los conjuntos; no otra es la relación entre un conjunto A y el subconjunto que selecciona todos sus miembros.
   Así, un conjunto de n miembros tendrá 2n–1 subconjuntos propios (el excluido es el subconjunto que coincide con la totalidad). Por ejemplo: los 22–1 = 3 subconjuntos propios del conjunto {a, b} son el subconjunto vacío, Ø; el subconjunto {a}; y el subconjunto {b}.

2.2 Tricotomía

   Un conjunto infinito se distingue de uno finito en que sus miembros pueden correlacionarse con los de un subconjunto propio. Ese era el caso, por ejemplo, del conjunto de los números naturales, correlacionado con el de sus cuadrados (n2) o con el de los naturales pares (2 × n). Lo que a un conjunto finito le está negado, a uno infinito lo caracteriza, lo define.
   La Ley de tricotomía dice que siempre se pueden comparar dos conjuntos por su tamaño y decidir si son iguales o si uno es menor que el otro. ¿Cómo? Para cualesquiera dos conjuntos que comparemos, sean finitos o in­finitos, serán iguales si sus miembros se pueden poner en una correspondencia 1 a 1 (o biyección); y uno será menor que el otro si no alcanza a correlacionarse con él y sí con alguno de sus subconjuntos propios. Veremos que este será el caso de cualquier conjunto en relación con su conjunto potencia.

3. Emparejando postres y combos

   Pasemos revista a nuestras ocho posibilidades (el orden en que aparecen los postres en un combo es indiferente).
       Puedo elegir comer un helado y una torta, o una torta y un flan, o un flan y un helado, o un helado o una torta o un flan.
       Puedo también no elegir ningún postre para comer (el conjunto vacío es subconjunto de cualquier conjunto); en el caso de un menú tan mezquino que no me ofrezca postre alguno para elegir (es decir, en el caso del conjunto vacío), no tengo otra alternativa que no elegir ninguno (el conjunto vacío es subconjunto incluso del conjunto vacío; de hecho, es su único subconjunto: 20=1).
       También puedo elegir todos los postres del menú (todo conjunto es subconjunto de sí mismo); en el caso del menú mezquino recién aludido, elegir todos los postres equivaldrá a no contar con ninguno (todo conjunto es subconjunto de sí mismo, incluso el conjunto vacío).
   En abreviaturas, y cada uno de ellos con un apodo propio, los combos que se pueden hacer con nuestro menú de 3 postres son los siguientes subconjuntos:
    Ø, “las ganas”;
    {h}, “el frío”;
    {t}, “el chancho”;
    {f}, “el movedizo”;
    {h, t}, “el chancho frío”;
    {h, f}, “el frío movedizo”;
    {t, f}, “el chancho movedizo” (hasta aquí, los subconjuntos propios);
    y {h, t, f}, “el frío chancho movedizo”.

   Como 23 es mayor que 3, es evidente que si quisiéramos poner en pa­reja a los postres del menú con los combos siempre nos quedarían 23–3= 5 combos despechados. Tal vez también nos resulte evidente que cualquier nú­me­ro finito de postres conservará tanto la superioridad 2n > n como la igualdad entre 2n–n y el número de combos no correspondidos; la gracia es demostrar que estas relaciones se conservarán con un número infinito de pos­tres.

   Empecemos por la demostración de que la cantidad de subconjuntos que se pueden hacer con los miembros de un conjunto A cualquiera (finito o infinito) es mayor que la cantidad de miembros del propio conjunto; en símbolos, P(A) > A (léase: el conjunto potencia de A es mayor que A).
   Lo primero que conviene advertir es que la cantidad de subconjuntos no puede ser en ningún caso menor que la de elementos. Con cada elemento de un conjunto se puede formar un subconjunto que lo tiene por único miembro (es decir, un subconjunto unitario); luego, todo conjunto, finito o infinito, tendrá al menos igual número de subconjuntos que de miembros (incluido el conjunto vacío, cuyo único subconjunto no es un subconjunto unitario).

   El conjunto de los combos unitarios que se pueden hacer con el menú de tres pos­tres constituye una parte (un subconjunto propio) del total de combos (es decir, del conjunto potencia del conjunto de tres postres que es el menú). Y sabemos que una parte de un conjunto finito no puede tener el mismo número de miembros que el conjunto, sino uno menor (esa imposibilidad lo diferencia, suficientemente, de un conjunto infinito). Por lo tanto, si hay menos combos unitarios que combos de un menú finito, y si hay tantos combos unitarios como postres de cualquier menú (finito o infinito), entonces hay menos postres que combos de un menú finito.
   Pero un subconjunto propio de un conjunto infinito sí puede tener el mismo número de miembros que el conjunto (esa posibilidad lo diferencia, suficientemente, de un conjunto finito). El conjunto de los ℵo combos unitarios de un menú de ℵo postres es un subconjunto propio del conjunto potencia del menú infinito, cuyos miembros son todos los combos, unitarios y no unitarios; por lo tanto, nada impide, a priori, que haya tantos combos como combos unitarios de un menú infinito (independientemente de que, desde ya, ni en este ni en ningún caso los combos unitarios sean todos los que hay, todos los que se pueden formar seleccionando postres del menú).
   De ahí se sigue que si el número infinito de combos no es igual al número infinito de postres, entonces debe ser mayor, ya que la existencia de tantos combos unitarios como postres descarta la posibilidad de que sea menor.
   Demostrar que 2n es mayor que n aun cuando n es infinito prestará indirectamente el servicio de demostrar que el número infinito de combos (2o) que se pueden hacer con ℵo postres es mayor que el número infinito de combos unitarios (ℵo).

3.1 El combo δ

   Supongamos que, pese a la evidencia, intentamos correlacionar cada postre de nuestro menú finito con un combo, en la esperanza de abarcarlos a todos. Por supuesto, la tarea fracasa en su tercer paso, a cinco del final. Una tentativa posible se vería así:


   Nombrados por orden de aparición, en la correlación han entrado los subconjuntos “el movedizo”, “el frío movedizo” y “el chancho”; los otros cinco se quedaron afuera.
   Concentrémonos en las parejas: de un lado hay 1 postre del menú y del otro hay 1 combo, donde puede haber al menos 1 postre del menú o ninguno. Siendo todo lo que hay para ver, nos entretenemos pensando si un combo tie­ne entre sus pos­tres al postre con el que está asociado.
   Notamos que no es el caso de la primera pareja: el combo “el movedizo”, formado por la única selección de un flan, no está asociado a un flan, sino a una torta. La situación cambia con la segunda pareja: en el combo “el frío movedizo” se encuentra el helado, que es el postre con el que está asociado. La discordia retorna con la tercera pareja: el combo “el chancho”, cuyo postre solitario es una torta, no está correlacionado con la torta del menú, sino con el flan.
   El ejercicio nos sugiere la fórmula de un nuevo combo: el combo de los postres que no integran el combo con el que están asociados; llamémoslo δ.

   La letra griega delta se corresponde con nuestra “d”, que es la inicial de “diferencia” y de “diagonal”; más adelante veremos cómo el subconjunto δ, cuya formulación implica una diferencia respecto de todos los subconjuntos correlacionados, se obtiene mediante lo que se conoce como el método diagonal de Cantor.

   Los postres que integran nuestro combo δ son, para el caso, la torta y el flan. En tanto consiste en una combinación de postres del menú, se trata de un combo como cualquier otro. Y si queda alguna duda, bastará con señalar que, ni bien lo expresamos (a saber: {t, f}), advertimos que el subconjunto δ y el subconjunto “el chancho movedizo”, que es uno de los cinco no emparejados, tienen los mis­mos elementos; luego, por el principio de extensionalidad, son el mismo conjunto. δ no forma un nuevo combo; identifica uno ya formado.

   Se llama extensión de un conjunto a las cosas que caen bajo la propiedad que define al conjunto, que de ese modo acreditan su membresía. El principio de extensionalidad dice simplemente que dos conjuntos con la misma extensión (y se supone, si no se quiere ser tautológico, con diferentes propiedades definitorias) son el mismo conjunto.
   El conjunto de los triángulos y el conjunto de los polígonos de 3 lados son el mismo conjunto porque tienen los mismos miembros. Otro tanto puede decirse del conjunto de las zanahorias con alas y del conjunto de los celulares del siglo XIX, si aceptamos que no tener ningún miembro es tener los mismos miembros (la misma membresía, si se prefiere).
   La diferencia es que entre "triángulos" y "polígonos de 3 lados" hay una relación de definición, mientras que "los celulares del siglo XIX" no define ni dice nada de "las zanahorias con alas", y viceversa. Aunque tenga muchos nombres, hay un solo conjunto de triángulos; aunque sus muchos nombres no se relacionen entre sí, hay un solo conjunto vacío.

   Los 2n subconjuntos de un conjunto de n miembros preexisten al planteo de si todos ellos pueden estar en pareja monogámica con un miembro del conjunto. Por lo tanto, si creemos que siempre hay al menos uno que queda afuera de la correlación, nuestro problema será indicar cómo identificarlo. Y si una visita divina nos hubiera revelado que, efectivamente, hay ahí 2n–n subconjuntos no correlacionados, nuestro problema sería entonces cómo identificar, cada vez, siquiera uno de esos 2n–n subconjuntos. Como solución a ese problema, Cantor da con la propiedad que funda a δ.

3.2 δ y el chancho movedizo

   ¿Qué diferencia a las dos definiciones del subconjunto? La definición de “el chancho movedizo”, combo del menú compuesto por la torta y el flan, no es determinante para que el combo sea uno de los cinco excluidos de la correlación; la definición de δ, combo de los postres que no integran el combo con el que están asociados, sí lo es.

   Si todos los postres del menú integrasen el combo al que están asociados, la definición de δ no perdería su fuerza de exclusión: en ese caso, el subconjunto que se demuestra que no puede participar de ninguna correlación es el subconjunto vacío; él sería δ en esas condiciones. He aquí un juego de correlaciones donde su­cede esto:
   t ↔ {t, f}
   h ↔ {t, h}
   f ↔ {h, f}
   El subconjunto δ de este juego no tiene ningún miembro: es Ø, uno de los cinco subconjuntos excluidos.

   “El chancho movedizo” está sin pareja en el diseño de correlaciones que vimos, y puede estarlo en otros, pero no en todos; en cambio, δ está sin pareja en cualquier diseño y en todos. Por lo tanto, δ puede ser idéntico a cualquier combo del menú, y lo será incluso antes de agotar todos los posibles diseños de correlaciones, para ser otra vez el avatar de alguno de los ocho. Veamos ocho posibles juegos de asociaciones, en cada uno de los cuales δ asume la identidad de un combo diferente:



3.3 δ, diferente por definición

   Desarrollar 2n juegos de correlaciones entre los n miembros de un conjunto y algunos de sus 2n subconjuntos en ningún caso es necesario para demostrar que no hay juego en el que se logre la igualdad numérica (la correspondencia perfecta) entre miembros y subconjuntos.
   Más económico, elegante y contundente es atender a la definición de δ. En razón de la propiedad o predicado que lo funda, δ es tal que cualquier subconjunto S que esté correlacionado con un elemento del conjunto diferirá de δ en al menos 1 miembro, presente en δ y ausente en S, o presente en S y ausente en δ.
   Si el rastrillaje lo hacemos en nuestro primer juego de correlaciones, comprobaremos que δ —en este caso, el combo {t, f}— no es (idéntico a) el combo asociado al primer postre del menú, ya que el combo δ contiene una torta y el combo examinado —{f}, “el movedizo”—, no. Tampoco es el combo asociado al segundo postre del menú —{h, f}, “el frío movedizo”—, ya que éste contiene un helado y δ no. Finalmente, tampoco es el combo asociado al tercer postre —{t}, “el chancho”—, del que difiere porque δ tiene un flan y el otro no.
   Las presencias o ausencias que determinan las diferencias entre el subconjunto δ y los subconjuntos listados no son casuales; re­sultan de la lógica interna de δ, de su propiedad definitoria. La diferencia de δ respecto de cualquier subconjunto que se encuentre en correspondencia con un miembro del conjunto es, por lo tanto, necesaria; está inscripta en la definición de δ.

   La infructuosa búsqueda de identidad que δ emprende a lo largo de los subconjuntos emparejados, barriéndolos uno a uno, no está limitada a ningún número de verificaciones; esa rueda de reconocimiento, de fracaso forzoso, no tiene un tope de integrantes. El subconjunto δ siempre será otro que los emparejados, cualquiera sea el número de éstos (es decir, cualquiera sea el número de elementos, que es, por definición, el mismo que el de subconjuntos emparejados).

   Atravesada la región de las parejas, δ proseguirá la búsqueda de su identidad en la región de los subconjuntos solitarios, donde encontrará uno del que no diferirá en ningún elemento. Si n= 3, δ será uno de los 23–3= 5 subconjuntos sueltos; si n= ℵo, δ será uno de los 2o–ℵo= 2o subconjuntos sueltos. En virtud de esta identidad extra­muros y aquella diferencia intramuros, fracasa la pretensión de correlacionar todos los subconjuntos de A con todos los miembros de A.
   Recapitulemos. Por el principio de extensionalidad, δ será (igual a) uno de los subconjuntos de A (donde A es un conjunto cualquiera); por su definición, δ será uno de los subconjuntos no correlacionados con ningún elemento de A. De ahí se deduce que el lugar de δ en la lista de subconjuntos de A estará entre el subconjunto que ocupa el lugar n (exclusive) y el subconjunto que ocupa el lugar 2n (inclusive). Como δ puede ser un subconjunto cualquiera de los comprendidos en este intervalo, el número de todos ellos (la magnitud del intervalo) es igual a 2n–n para un conjunto de n miembros; en breve veremos el caso en que n es infinito.

3.4 δ en una demostración por el absurdo

   Por mucho que facilite la comprensión del argumento, el rastrillaje en un juego de correlaciones que esté en representación de todos, que valga por cualquier juego que pueda hacerse, es prescindible si atendemos un poco mejor a la definición de δ. La prueba a desarrollar es indirecta: una demostración por el absurdo. Se trata de conceder, a título de hipótesis, que δ está en pareja con un miembro del conjunto, y observar qué pasa a partir de ese supuesto. De un imposible sólo cabe esperar un absurdo; si ese no es el caso, es que no era un imposible.
   Convengamos en llamar m al hipotético miembro de un conjunto A correlacionado con el subconjunto δ, que —re­cor­de­mos— es el conjunto de los miembros de A que no pertenecen al subconjunto con el que están correlacionados. El miembro m debe o bien pertenecer o bien no pertenecer a δ, como cualquier otro miembro de A correlacionado con un subconjunto de A. Pero cualquiera de las dos opciones (y otra no hay) nos lleva a una contradicción: si suponemos que m pertenece a δ, m es un miembro de A que pertenece al subconjunto con el que está correlacionado, circunstancia que lo excluye de δ (así, m pertenece a δ si y sólo si no pertenece a δ); si suponemos que m no pertenece a δ, m es un miembro de A que no pertenece al subconjunto con el que está correlacionado, circunstancia que lo incluye en δ (así, m no pertenece a δ si y sólo si pertenece a δ).
   ¿Qué hacer? Aceptada la impenetrabilidad del absurdo, retrocedemos hasta el desvío que nos condujo al callejón sin salida y declaramos falso el supuesto de que hay un elemento de A correlacionado con δ. Por lo tanto, la moraleja inmediata es que cualquier elemento de A (recordemos que m era un elemento cualquiera de A) fracasa en correlacionarse con δ. La moraleja mediata es que no puede haber una correlación uno a uno entre todos los elementos de A y todos los subconjuntos de A.

   Los argumentos afirman cosas diferentes y complementarias: el primero afirma que el subconjunto de A identificado por δ no está emparejado (verificación heurística) ni puede estar emparejado (corolario de la propiedad definitoria de δ) con ningún miembro de A; el segundo, que ningún miembro de A puede estar emparejado con δ (el otro corolario de la propiedad definitoria de δ).
   Por definición, δ, en razón de diferir de cualquier subconjunto emparejado, no puede estar emparejado con ningún miembro de A. Por absurdo, ningún miembro de A puede estar emparejado con δ, si no es siendo y no siendo a la vez miembro de δ.

   Resumamos. Dado que ese al que llamamos A es un conjunto cualquiera (y de cualquier tamaño, finito o infinito), se impone que, para todo conjunto, la cantidad de sus subconjuntos será necesariamente mayor que la de sus miembros. Expresado como una relación entre conjuntos, P(A) > A; expresado como una relación aritmética, 2n > n.

De ahí se deduce que no puede haber un conjunto de tamaño máximo (ni, en consecuencia, un cardinal que exprese tamaño tamaño), ya que, cualquiera sea el que se postule, su conjunto potencia será mayor que él: si el postulante es el conjunto potencia de N, pierde frente a su conjunto potencia: P(P(N)) > P(N); y éste a su vez pierde frente al suyo: P(P(P(N))) > P(P(N)); y así ad infinitum.
   El mismo despliegue sin fin podríamos hacer con los postres, los combos de postres, los combos de combos de postres, los combos de combos de combos de postres, etc.: 3 < 23 = 8 < 28 = 256 < 2256, etc.

3.5 δ y el método diagonal

   Para cualquier juego de correlaciones que se diseñe, la identificación infalible de un combo no correlacionado con ningún postre puede alcanzarse mediante la formulación del combo δ, como vimos recién, o mediante lo que se conoce como el método diagonal, con el que identificaremos el mismo combo desapareado que identifica δ (en el juego de asociaciones utilizado, el combo {t, f}). Se trata de otro modo de presentar δ.
   Para formar el tablero sobre el que discurrirá la diagonal, pongamos primero en fila los miembros del conjunto (los postres del menú) y luego generemos cada uno de sus subconjuntos (cada combo) colocando una tarjeta gris debajo de un miembro si no pertenece al subconjunto y una blanca si pertenece. La lista de los 23 = 8 subconjuntos así obtenida figurará un tablero cuadrangular de tarjetas grises y blancas.



   Una vez establecidas las correspondencias posibles entre postres —miembros de A— y combos —miembros de P(A)—, la identificación de un combo no apareado se realiza invirtiendo el color de las tarjetas de la diagonal que recorre el tablero de NO a SE:
       la primera tarjeta del combo 1, que es gris, cambia a blanca (el combo no apareado tendrá entre sus postres a la torta);
       la segunda tarjeta del combo 2, que es blanca, cambia a gris (el combo no apareado no tendrá entre sus postres al helado);
       la tercera tarjeta del combo 3, que es gris, cambia a blanca (el flan pertenecerá al combo no apareado); etc.
   Si se quiere verificar heurísticamente que el combo resultante, {t, f}, no es (idéntico a) ninguno de los combos alcanzados por las correlaciones con postres, bastará compararlo con cada uno de ellos:
       no es el primer combo emparejado, porque éste no tiene torta y δ sí;
       no es el segundo combo emparejado, porque éste tiene helado y δ no;
       no es el tercer combo emparejado, porque éste no tiene flan y δ sí.
   La inversión dia­gonal que se operó es la responsable de cada una de estas diferencias entre δ y los combos asociados a postres, como antes lo fue la definición de δ, que tuvo el mismo efecto. La definición de δ y el combo generado por la in­versión de la diagonal identifican a uno de los 2n–n combos no asociados a ninguno de los n postres del menú (en la lista confeccionada, el combo 6).

   Los servicios de persuasión del método diagonal y la construcción de δ son excesivos para el argumento “2n > n” cuando n es igual a 3, como en nuestro ejemplo, o a cualquier otro número natural; pero dejan de serlo cuando n es ℵo. En todo caso, el mismo argumento que con cardinales finitos apuntala una obviedad que nunca se aflojó, con cardinales transfinitos revela un hecho que aún suele provocar perplejidad: hay un infinito mayor que otro (lo que a su vez implica que el «infinito» que nos es más familiar, el de los números naturales, es una medida más, y no la ausencia de toda medida).
   Si bien este hecho ya fue demostrado con la reducción al absurdo, no estará de más volver a hacerlo llevando a cabo una mera extensión de la demostración que acabamos de desarrollar en la sobreactuada justificación de que el número de combos es mayor que el del trío de postres. Consiste en aplicar el método diagonal al conjunto potencia —P(N)— del conjunto N de los números naturales, como para no andar suponiendo un conjunto infinito de postres. En lugar de “t”, “h” y “f”, tendremos los elementos “1”, “2”, “3”, “4”, ad infinitum.

4. La lista de Gadner y la diagonal de Cantor

   Una fila perpetuamente gris será el subconjunto vacío. Una de las dos filas con tarjetas de colores alternos representará el sub­conjunto de los naturales pares; la otra, el de los impares. Los subconjuntos unitarios (como {7}, {1.410} ó {2.612}) tendrán una sola tarjeta blanca y todas las demás, grises.
   Otros divulgadores usan «SÍ» y «NO» en vez de las tarjetas blancas y grises que usa Martin Gardner (cf. Gardner, 1966); a él le cedo la palabra (la traducción me pertenece):
   «¿Pueden los subconjuntos de este conjunto infinito ponerse en correspondencia uno a uno con los enteros cardinales? Supóngase que pueden. Simbolícese cada subconjunto con una hilera de tarjetas, como antes, sólo que ahora cada hilera continúa interminablemente hacia la derecha. Imagínese estas hileras infinitas listadas en un orden cualquiera y numeradas 1, 2, 3,... de arriba abajo.



   Si continuamos formando tales hileras, ¿comprenderá eventualmente la lista a todos los subconjuntos? No, porque hay un número infinito de modos de producir un subconjunto que no pueda estar en la lista. El modo más simple consiste en considerar el conjunto diagonal de tarjetas indicado por la flecha y suponer entonces que se da vuelta cada tarjeta a lo largo de esta diagonal (es decir, todas las tarjetas que están boca abajo se ponen boca arriba, todas las tarjetas que están boca arriba se ponen boca abajo). El nuevo conjunto dia­gonal no puede ser el primer subconjunto porque su primera tarjeta difiere de la primera tarjeta del subconjunto 1. No puede ser el segundo subconjunto porque su segunda tarjeta difiere de la segunda tarjeta del subconjunto 2. En general, no puede ser el n‑ésimo subconjunto porque su n‑ési­ma tarjeta difiere de la n‑ésima tarjeta del subconjunto n. Dado que hemos producido un subconjunto que no puede estar en la lista, aun cuando la lista es infinita, nos vemos forzados a concluir que la suposición original es falsa. [...] Esta prueba muestra que semejante conjunto no puede corresponder uno a uno con los enteros cardinales.»

   En resumen, los números “1, 2, 3, 4,...”, siendo infinitos, no alcanzan para numerar a todos los subconjuntos de N: el método diagonal demuestra la existencia de al menos 1 subconjunto que no está en la lista. Y de nada serviría hacer una nueva incorporando al subconjunto que resultó de la inversión diagonal, ya que una nueva aplicación del método volvería a arrojar (a identificar) un subconjunto no numerado.
   En razón de esa insuficiencia de naturales, se dice que el conjunto de los subconjuntos de N (el conjunto potencia de N) es un conjunto infinito no numerable; luego, su infinitud es mayor.

4.1 Lista de subconjuntos que no están en la lista de Gardner.

   Sabíamos que si N medía ℵo, P(N) medía 2o. Lo que no sabíamos, y Cantor demostró con la diagonal, es que la segunda medida es mayor que la primera. Conjeturó también (no lo demostró; el problema sigue abierto) que es inmediatamente mayor, que es el entero transfinito que sigue al entero transfinito ℵo en orden de magnitud creciente. Es la Hipótesis del Continuo (en referencia a una recta, que tiene tantos puntos como números reales hay entre 0 y 1 ─y, por extensión, en total─ y como subconjuntos tiene N, como también demostró Cantor).
   Pero por ahora no me interesa ir por ahí. Quedémonos en que se ha demostrado que 2o > ℵo y P(N) > N, no importa si mediata o inmediatamente. Hay una lista infinita de subconjuntos de N (selecciones de números naturales) y Cantor nos ha mostrado 1 subconjunto que no está en la lista.
   Sigamos por acá: ¿cuántos subconjuntos de N no están en la lista? Sabemos que en total, entre listados (ℵo) y no listados, hay 2o subconjuntos de N. Tenemos el resultado; veamos la cuenta. La pregunta es cómo se compone ese total. Antes de intentar responderla, recordemos estas ecuaciones de la artimética transfinita (con n finito):
    o + n = ℵo
    o + ℵo = ℵo × 2 = ℵo y, en general, ℵo × n = ℵo
    o × ℵo = ℵo2 = ℵo y, en general, ℵon = ℵo

   Se han invertido las tarjetas de 1 diagonal para generar 1 subconjunto que no está numerado con algún entero positivo, de los que hay ℵo. Si ese subconjunto fuese el único que no está en la lista de los subconjuntos numerados, el total de subconjuntos, entre numerados y no numerados, sería ℵo + 1 = ℵo. Descartamos, entonces, que el subconjunto obtenido por la inversión de la diagonal sea el único que falte numerar. ¿Cuántos faltan, entonces?

   En rigor, podríamos trazar e invertir tantas diagonales como elementos tenemos para incluir o no en un subconjunto. Todas las diagonales nacerían de la primera hilera de tarjetas, como lo hace la diagonal ya trazada; la segunda diagonal partiría de la tarjeta que indica la ausencia o presencia del elemento “2” en el primer subconjunto; la tercera diagonal partiría de la tercera tarjeta y, en general, la enésima diagonal lo haría de la enésima tarjeta del primer subconjunto de la lista.



   Así, podemos generar con este método ℵo subconjuntos no numerados, ausentes en la lista de Gardner. Con ellos podemos hacer otra lista, cuyo primer subconjunto será el construido por la primera diagonal; el segundo, por la segunda; etc. Las tarjetas que faltan para completar los subconjuntos a partir del segundo de la lista son indiferentes; bien podría convenirse que fueran todas blancas o todas grises. Lo que importa es que cada uno de los subconjuntos de esta nueva lista diferirá necesariamente en al menos un elemento de cada uno de los subconjuntos de la lista de Gardner.



   Notemos que si ahora trazásemos una diagonal desde el vértice superior izquierdo de esta lista y diésemos vuelta sus tarjetas, obtendríamos el primer subconjunto numerado de la lista de Gardner; del mismo modo, el segundo subconjunto numerado sería idéntico —desde la segunda posición— al construido aquí por la segunda diagonal invertida, y así con el resto.
   Si se exige que los subconjuntos construidos desde la segunda diagonal de esta lista sean explícitamente idénticos, en todas sus posiciones, a los subconjuntos del arreglo original, bastará con trazar en éste diagonales dobles o compuestas. Desde la segunda, una diagonal con orientación SO-NE se continuará en otra con orientación NO-SE.
   Si existe, la otra diagonal simple del cuadrado —la primera es la diagonal de Cantor— se traza en el infinito y cruza el arreglo de SO a NE. ¿Y se cruza con la de Cantor, que viene de NO a SE? Sí, pero en el infinito, como las paralelas. Es la X más problemática del mundo mundial.



   La nueva lista de subconjuntos ausentes ya no exhibirá lugares vacíos ni necesitará una convención especial para su relleno; se verá así:



4.2 Subconjuntos que no están en la lista de subconjuntos que no están en la lista de Gardner (o 'Hay ausencias más infinitas que otras')

   Si sobre esta lista trazásemos ahora las diagonales dobles que hicimos en la primera, no obtendríamos una tercera lista de subconjuntos de N, sino de nuevo la primera. Un dispositivo es el inverso del otro respecto de este método diagonal; en ambos, por lo tanto, hay igual cantidad de hileras de tarjetas (o miembros del conjunto P(N), o sea, subconjuntos de N): ℵo hileras. Y el mismo número de hileras habrá en la unión de las dos listas: si a la primera la llamamos A y a la segunda B, los subconjuntos listados de ambas pueden ser puestos en una correspondencia biunívoca con los números naturales (o distribuidos en una progresión, si consideramos solamente la fila inferior; y no hay progresión que no sea contable, o sea, que no mida ℵo):


   Así, si los subconjuntos de la lista B fuesen todos los que no están en la lista originaria, el total de subconjuntos de N, entre numerados y no numerados, no sería 2o, sino ℵo, ya que ℵo + ℵo = ℵo. Debe haber, en consecuencia, 2o subconjuntos no incluidos en el dispositivo infinito de Gardner.
   Una vez establecido esto, el mismo argumento se puede volver a utilizar para probar que también hay 2o subconjuntos fuera de la lista B además de la A: siendo que hay ℵo subconjuntos generados por diagonales, si hubiera ℵo subconjuntos no generables por el método diagonal, no habría 2o subconjuntos ausentes de la lista A, sino otra vez ℵo + ℵo = ℵo; y si este fuera el caso, nuevamente nos encontraríamos con que el total de subconjuntos de N, entre ausentes (ℵo) y presentes (ℵo), no sería 2o, sino ℵo.
Resumiendo: hay 2o subconjuntos que no están en la lista de Gardner, que tiene ℵo subconjuntos numerados. De ese total ausente, una parte es numerable (hay ℵo subconjuntos que podemos construir con el método diagonal: los de la lista B) y otra es no numerable (hay 2o subconjuntos que no podemos construir con el método diagonal: ausentes de la lista B además de la A). La fórmula que expresa esto puede escribirse así:
o + (ℵo + 2o) = ℵo + 2o = 2o.
   Recordemos que un conjunto es infinito si puede ponerse en relación 1 a 1 con un subconjunto propio. Así como N y su subconjunto de los naturales impares son equipotentes (ambos tienen ℵo miembros), también lo son P(N) y una parte suya (por ejemplo, aquella cuyos miembros son los 2o subconjuntos de N que no están en la lista de Gardner). Como se espera de una definición, la de conjunto infinito abarca la infinita jerarquía de tamaños infinitos.
   Recordemos también que un conjunto es menor que otro si no puede ponerse en relación 1 a 1 con él y sí con alguno de sus subconjuntos propios. El doble requisito se cumple: N no puede ponerse en correspondencia 1 a 1 con P(N), pero sí con una parte de P(N) (aquella cuyos miembros son los ℵo subconjuntos de N que hay en la lista de Gardner, por ejemplo).


Los tamaños del infinito 001 (1.0.0)

A la versión que copio a continuación le saqué algunas parrafadas (subtemas enteros, como la comparación entre δ y R). Un párrafo lo reescribí completo y cambié algo erróneo en el final. Así se veía hasta ayer:




   Podemos seleccionar los miembros de un conjunto de a 1, de a 2, de a 3, etc; podemos seleccionarlos, en general, hasta de a n (siendo n el número total de miembros que tiene el conjunto). Cada una de estas selecciones forma un conjunto que está incluido en aquel al que pertenecen los miembros seleccionados; se trata, por lo tanto, de un subconjunto suyo. Así, un conjunto A1 es un subconjunto de un conjunto A si todos sus miembros son también miembros del conjunto A.
   La alternativa de seleccionar los miembros de a 1 hace que con cada uno de ellos se pueda hacer un subconjunto; siendo así, la cantidad de subconjuntos unitarios que puede tener un conjunto es igual a la cantidad de sus miembros. Mientras no podamos seleccionar miembros de a más de los que hay, no podrá haber un subconjunto que sea mayor que el con­junto. Como podemos seleccionar de a tantos como hay, sí puede haber un subconjunto (y sólo uno) de igual tamaño —y composición— que el con­junto; se dice entonces que to­do conjunto es subconjunto de sí mismo (o sea, está incluido en sí mismo, ya que todos los miembros de la selección máxima son miembros a su vez del conjunto sobre el que se la realiza). La abstención de toda selección también forma un conjunto: el conjunto vacío, Ø, donde no hay miembros seleccionados. Como esa abstención es posible en todos los ca­sos (es una herramienta que está incluida en todos los kits), el conjunto vacío es subconjunto de cualquier conjunto.

   Supongamos que he almorzado y llega el momento del postre. El restaurante del Hotel Hilbert es modesto: el menú sólo incluye flan, helado y torta. Mis opciones no son misteriosas: puedo elegir uno de esos postres, algunos, todos o ninguno. La relación que hay entre un conjunto y sus subconjuntos es la relación que existe entre un menú y sus opciones de combinación. Se suele llamar “combos” a las combinaciones plurales (ni unitarias ni vacías) de los items de un menú, armadas para hacer ofertas. Pasando por alto esta motivación comercial y aquel requisito cardinal (¿qué sentido práctico puede te­ner hacer un combo unitario o uno vacío?), llamaremos “combo” a cualquier selección de piezas de un menú, incluso a aquella que renuncie a todas, a ninguna, o a todas menos una. En nuestro caso, el menú consiste en un conjunto de pos­tres; un combo, en un conjunto integrado por al menos uno de esos pos­­tres (es decir, uno, algunos o todos) o por ninguno en absoluto.
   Cada postre del menú tiene sólo dos alternativas en relación con un combo: figurar o no en él. (Traducido a términos conjuntistas, cada miembro de un conjunto tiene dos alternativas en relación con cada subconjunto: per­tenecer o no a él.) El número de combos es una relación entre el número de alternativas que tiene un postre en un combo y el número de postres que ofrece el menú: 23= 8 combos u opciones de combinación, en nuestro ejemplo; y en general, un conjunto de n miembros tendrá 2n subconjuntos. Al conjunto cuyos miembros son los subconjuntos de un conjunto cualquiera A se lo llama conjunto potencia de A; en símbolos, P(A).

   Cualquier subconjunto que no sea el subconjunto que selecciona todos los elementos disponibles (es decir, cualquier subconjunto que no coincida con la totalidad) es un subconjunto propio del conjunto en cuestión. Pa­ra ser más preciso, to­dos los elementos de un subconjunto propio de A son también elementos de A, pero no a la inversa: debe haber al menos un elemento de A que no sea elemento del subconjunto para que éste sea un subconjunto propio, es decir, para que se trate de un conjunto incluido en A que sea diferente de A. (Una relación recíproca de inclusión entre dos conjuntos —donde todos los miembros del primero son miembros del segundo, y viceversa— implica la identidad entre sus miembros, lo que a su vez implica la identidad de los conjuntos; no otra es la relación entre un conjunto A y el subconjunto que selecciona todos sus miembros.) Así, un conjunto de n miembros tendrá 2n–1 subconjuntos propios (el excluido es el subconjunto que coincide con la totalidad). Por ejemplo: los 22–1 = 3 subconjuntos propios del conjunto {a, b} son el subconjunto vacío, Ø; el subconjunto {a}; y el subconjunto {b}.
   Un conjunto infinito se distingue de uno finito en que sus miembros pueden correlacionarse con los de un subconjunto propio del conjunto (como era el caso, por ejemplo, del conjunto de los números naturales, correlacionado con el de los naturales pares). Lo que a un conjunto finito le está negado, a uno infinito lo caracteriza, lo identifica como tal. Para cualesquiera dos conjuntos que comparemos, sean finitos o in­finitos, uno será menor que el otro si no alcanza a correlacionarse con él y sí con alguno de sus subconjuntos propios. Veremos que este será el caso de cualquier conjunto en relación con su conjunto potencia.

   Pasemos revista a nuestras ocho posibilidades (el orden en que aparecen los postres en un combo es indiferente). Puedo elegir comer un helado y una torta, o una torta y un flan, o un flan y un helado, o un helado o una torta o un flan. Puedo también no elegir ningún postre para comer (el conjunto vacío es subconjunto de cualquier conjunto); en el caso de un menú tan mezquino que no me ofrezca postre alguno para elegir (es decir, en el caso del conjunto vacío), no tengo otra alternativa que no elegir ninguno (el conjunto vacío es subconjunto incluso del conjunto vacío; de hecho, es su único subconjunto: 20=1). También puedo elegir todos los postres del menú (todo conjunto es subconjunto de sí mismo); en el caso del menú mezquino recién aludido, elegir todos los postres equivaldrá a no contar con ninguno (todo conjunto es subconjunto de sí mismo, incluso el conjunto vacío). En abreviaturas, y cada uno de ellos con un apodo propio, los combos que se pueden hacer con nuestro menú de 3 postres son los siguientes subconjuntos: Ø, “las ganas”; {h}, “el frío”; {t}, “el chancho”; {f}, “el movedizo”; {h, t}, “el chancho frío”; {h, f}, “el frío movedizo”; {t, f}, “el chancho movedizo” (hasta aquí, los subconjuntos propios); y {h, t, f}, “el frío chancho movedizo”.

   Como 23 es mayor que 3, es evidente que si quisiéramos poner en pa­reja a los postres del menú con los combos siempre nos quedarían 23–3= 5 combos despechados. Tal vez también nos resulte evidente que cualquier nú­me­ro finito de postres conservará tanto la superioridad 2n>n como la igualdad entre 2n–n y el número de combos no correspondidos; la aventura es demostrar que estas relaciones se conservarán con cualquier número de pos­tres, aun con uno infinito. Empecemos por la demostración de que la cantidad de subconjuntos que se pueden hacer con los miembros de un conjunto A cualquiera (finito o infinito) es mayor que la cantidad de miembros del propio conjunto; en símbolos, P(A)>A (el conjunto potencia de A es mayor que A).
   Lo primero que conviene advertir es que la cantidad de subconjuntos no puede ser en ningún caso menor que la de elementos. Con cada elemento de un conjunto se puede formar un subconjunto que lo tiene por único miembro (es decir, un subconjunto unitario); luego, todo conjunto, finito o infinito, tendrá al menos igual número de subconjuntos que de miembros (incluido el conjunto vacío, cuyo único subconjunto no es un subconjunto unitario).
   El conjunto de los combos unitarios que se pueden hacer con el menú de tres pos­tres constituye una parte (un subconjunto propio) del total de combos (es decir, del conjunto potencia del conjunto de tres postres que es el menú). Y sabemos que una parte de un conjunto finito no puede tener el mismo número de miembros que el conjunto, sino uno menor (esa imposibilidad lo diferencia, suficientemente, de un conjunto infinito). Por lo tanto, si hay menos combos unitarios que combos de un menú finito, y si hay tantos combos unitarios como postres de cualquier menú (finito o infinito), entonces hay menos postres que combos de un menú finito.
   Pero un subconjunto propio de un conjunto infinito sí puede tener el mismo número de miembros que el conjunto (esa posibilidad lo diferencia, suficientemente, de un conjunto finito). El conjunto de los ℵo combos unitarios de un menú de ℵo postres es un subconjunto propio del conjunto potencia del menú infinito, cuyos miembros son todos los combos, unitarios y no unitarios; por lo tanto, nada impide, a priori, que haya tantos combos como combos unitarios de un menú infinito (independientemente de que, desde ya, ni en este ni en ningún caso los combos unitarios sean todos los que hay, todos los que se pueden formar seleccionando postres del menú). De ahí se sigue que si el número infinito de combos no es igual al número infinito de postres, entonces debe ser mayor, ya que la existencia de tantos combos unitarios como postres descarta la posibilidad de que sea menor. Demostrar que 2n es mayor que n aun cuando n es infinito prestará indirectamente el servicio de demostrar que el número infinito de combos (2o) que se pueden hacer con ℵo postres es mayor que el número infinito de combos unitarios (ℵo).


   Supongamos que, pese a la evidencia, intentamos correlacionar cada postre de nuestro menú finito con un combo, en la esperanza de abarcarlos a todos. Por supuesto, la empresa fracasa en su tercer paso, a cinco del final. Una tentativa posible se vería así:


   Nombrados por orden de aparición, en la correlación han entrado los subconjuntos “el movedizo”, “el frío movedizo” y “el chancho”; los otros cinco se quedaron afuera.
   Concentrémonos en las parejas: de un lado hay 1 postre del menú y del otro hay 1 combo, donde puede haber al menos 1 postre del menú o ninguno. Siendo todo lo que hay para ver, nos entretenemos pensando si un combo tie­ne entre sus pos­tres al postre con el que está asociado. Notamos que no es el caso de la primera pareja: el combo “el movedizo”, formado por la única selección de un flan, no está asociado a un flan, sino a una torta. La situación cambia con la segunda pareja: en el combo “el frío movedizo” se encuentra el helado, que es el postre con el que está asociado. La discordia retorna con la tercera pareja: el combo “el chancho”, cuyo postre solitario es una torta, no está correlacionado con la torta del menú, sino con el flan.
   El ejercicio nos sugiere la fórmula de un nuevo combo: el combo de los postres que no integran el combo con el que están asociados; llamémoslo δ.

   La letra griega delta se corresponde con nuestra “d”, que es la inicial de “diferencia” y de “diagonal”; más adelante veremos cómo el subconjunto δ, cuya formulación implica una diferencia respecto de todos los subconjuntos correlacionados, se obtiene mediante lo que se conoce como el método diagonal de Cantor.

   Los postres que integran nuestro combo δ son, para el caso, la torta y el flan. En tanto consiste en una combinación de postres del menú, se trata de un combo como cualquier otro. Y si queda alguna duda, bastará con señalar que, ni bien lo expresamos (a saber: {t, f}), advertimos que el subconjunto δ y el subconjunto “el chancho movedizo”, que es uno de los cinco no emparejados, tienen los mis­mos elementos; luego, por el principio de extensionalidad, son el mismo conjunto. No fue el hallazgo de un nuevo combo, sino el de una nueva identificación para un combo conocido.

   Se llama extensión de un conjunto a las cosas que caen bajo la propiedad que define al conjunto, que de ese modo acreditan su membresía. El principio de extensionalidad dice simplemente que dos conjuntos con la misma extensión (y se supone, si no se quiere ser tautológico, con diferentes propiedades definitorias) son el mismo conjunto. El conjunto de las sirenas y el de los unicornios, además de tener el mismo número de miembros (0), tienen los mismos miembros (a saber, ninguno); luego, son el mismo conjunto. De ahí que exista un solo conjunto vacío (si bien puede estar asociado, como cualquier otro, a diversas propiedades, entre las que se cuentan las de ser una sirena o ser un unicornio).

   Los 2n subconjuntos de un conjunto de n miembros preexisten al planteo de si todos ellos pueden estar en pareja monogámica con un miembro del conjunto. Por lo tanto, si creemos que siempre hay al menos uno que queda afuera de la correlación, nuestro problema será indicar cómo identificarlo. Y si una visita divina nos hubiera revelado que, efectivamente, hay ahí 2n–n subconjuntos no correlacionados, nuestro problema sería entonces cómo identificar, cada vez, siquiera uno de esos 2n–n subconjuntos. Como solución a ese problema, Cantor da con la propiedad que funda a δ.
   ¿Qué diferencia a las dos definiciones del subconjunto? La definición de “el chancho movedizo”, combo del menú compuesto por la torta y el flan, no es determinante para que el combo sea uno de los cinco excluidos de la correlación; la definición de δ, combo de los postres que no integran el combo con el que están asociados, sí lo es.

   Si todos los postres del menú integrasen el combo al que están asociados, la definición de δ no perdería su fuerza de exclusión: en ese caso, el subconjunto que se demuestra que no puede participar de ninguna correlación es el subconjunto vacío; él sería δ en esas condiciones. He aquí un juego de correlaciones donde su­cede esto:
   t ↔ {t, f}
   h ↔ {t, h}
   f ↔ {h, f}
   El subconjunto δ de este juego no tiene ningún miembro: es Ø, uno de los cinco subconjuntos excluidos.

   Pero tal vez antes de comparar las dos definiciones por sus efectos queramos compararlas por sus acciones y por sus orígenes. La de­finición de δ, más que describir un subconjunto (como hace la de “el chancho movedizo”), permite identificarlo, como ya dije. Esta diferencia entre las acciones que realizan las dos definiciones se asienta en la diferencia entre los modos y tiempos de sus gestaciones: δ, a diferencia de “el chancho movedizo”, no preexiste a la conformación del juego de correspondencias entre miembros y subconjuntos (del que, precisamente, surge). Su propiedad, de hecho, se refiere a una relación entre los términos correlacionados, por lo que mal puede δ preexistir a esa relación. Visto por encima, esto le da a δ una apariencia similar a la de un conjunto paradójico: el conjunto R de todos los conjuntos que no son miembros de sí mismos.
   Recordemos la paradoja del conjunto R. Algunos de sus miembros son el conjunto de los aviones, que no es un avión; el conjunto de los glaciares, que no es un glaciar; etc. La colección de conjuntos prosigue sin inconvenientes, hasta que nos planteamos si ella misma, que está llamada a ser un conjunto, debe o no ser coleccionada. Si lo hacemos, pasa a ser un conjunto que se tiene por miembro de sí mismo, por lo que no debería pertenecer a la colección; si no lo hacemos, pasa a ser un conjunto que no se tiene a sí mismo por miembro, por lo que debería pertenecer a la colección. Cualquiera de las dos alternativas (y otra no hay) implica su contradictoria.
   Russell pergeñó R para mostrar la necesidad de poner restricciones a la relación de membresía. Si ésta es irrestricta, R es posible; si R, siendo contradictorio, es posible, el juego de principios que permite engendrarlo es inconsistente (uno de esos principios, conocido como el principio de abstracción ilimitada o principio de comprehensión, es el que admite la relación de membresía sin restricciones de ningún tipo).

   Concretamente, el principio de abstracción ilimitada dice que, dada una propiedad (o predicado), puede formarse el conjunto de las cosas que tienen esa propiedad.
   El principio parece autoevidente, y su aplicación provee todos los conjuntos que la matemática clásica necesita: dada la propiedad de ser un número natural, se puede obtener el conjunto de todos los números naturales; dada la propiedad de ser subconjunto de un conjunto determinado, se puede obtener el conjunto de todos sus subconjuntos (que es su conjunto potencia); etc.
   Pero también consiente otros que no son deseables, en especial dos (que pueden reducirse a uno): la propiedad de ser un conjunto permite derivar el conjunto de todos los conjuntos (más adelante ha­blaremos de su incompatibilidad); la propiedad de ser un conjunto que no es miembro de sí mismo permite derivar el conjunto de todos los conjuntos que no son miembros de sí mismos.
   La paradoja de este último conjunto Russell se la envió por carta a Frege para demostrarle la inconsistencia de su sistema, que incluía el conflictivo principio que la hace posible. “Tiembla la aritmética”, dicen que le contestó Frege, identificando su axiomatización de la arit­mética con la aritmética misma.

   Después de eso, la relación de membresía ya no fue lo que era. Sufrió correctivos de parte del propio Russell, con su teoría de los tipos lógicos, y del tandem Zermello-Fraenkel, que en su sistema reemplazó al principio culpable por un ino­fensivo principio de abstracción limitada (o principio de separación, porque permite separar unos elementos de otros de un conjunto ya dado, ya formado, lo que impide la gestación de la paradoja).
   Sin entrar a desarrollar estas líneas de solución, permítaseme arriesgar que, como condición de legitimidad de una membresía, el ungimiento de los miembros de un conjunto debe ser previo —o simultáneo— a la formación del conjunto. El conjunto que se postula como miembro de sí mismo sería un miembro ungido después (y a consecuencia) de la formación del conjunto que pretende integrar; miembro tardío, podríamos llamarlo, en tanto participa tarde de la formación del conjunto.

   En rigor, un conjunto se forma cuando el reclutamiento de sus miembros se cumple en un tiempo. Si necesita lo que no debe (formarse en dos tiempos), se trata de un conjunto de autopertenencia no paradójica (como, por ejemplo, el conjunto de los conjuntos con más de 14 elementos, que tiene más de 14 elementos y, por lo tanto, es miembro de sí mismo); si ni siquiera puede eso que necesita y no debe, se trata de un conjunto de autopertenencia paradójica, como R.

   Si aceptamos como válido aquel requisito para revestir la condición de miembro, el miembro R del conjunto R es ilegítimo. En cambio, dado un conjunto cualquiera A, su subconjunto δ no es un miembro tardío de P(A); sólo es el nombre nuevo de un miembro de P(A) ya aceptado (en virtud de haber sido ungido miembro previa o simultáneamente a que se constituyera el conjunto que integra). Va de nuevo: la propiedad de δ, que se genera con posterioridad a la formación de P(A) y a su participación en el intento de correlacionarlo con A, no genera un nuevo miembro de P(A), que sería un miembro tardío; sólo revela la identidad de un miembro de P(A) que ha quedado afuera de la correlación ensayada.

   “El chancho movedizo” está sin pareja en el diseño de correlaciones que vimos, y puede estarlo en otros, pero no en todos; δ, en cualquier diseño y en todos. Por lo tanto, δ puede ser idéntico a cualquier combo del menú, y lo será incluso antes de agotar todos los posibles diseños de correlaciones, para ser otra vez el avatar de alguno de los ocho.
   Si el propósito de las correspondencias es abarcar el máximo posible de combos, con la esperanza de alcanzarlos a todos, sería un desperdicio de recursos asociar más de una vez un combo a distintos pos­tres en un mismo juego. Teniendo esto en cuenta, veamos ocho posibles juegos de asociaciones, en cada uno de los cuales δ asume la identidad de un combo diferente.


   Desarrollar 2n juegos de correlaciones entre los n miembros de un conjunto y algunos de sus 2n subconjuntos en ningún caso es necesario para demostrar que no hay juego en el que se logre la igualdad numérica (la correspondencia perfecta) entre miembros y subconjuntos. Y en un tipo de casos es además imposible ese despliegue, a saber: cuando n es infinito —y 2n con él—. Más económico, elegante y contundente es atender a la definición de δ. En razón de la propiedad o predicado que lo funda, δ es tal que cualquier subconjunto S que esté correlacionado con un elemento del conjunto diferirá de δ en al menos 1 miembro, presente en δ y ausente en S, o presente en S y ausente en δ.
   Si el rastrillaje lo hacemos en nuestro primer juego de correlaciones, comprobaremos que δ —en este caso, el combo {t, f}— no es (idéntico a) el combo asociado al primer postre del menú, ya que el combo δ contiene una torta y el combo examinado —{f}, “el movedizo”—, no. Tampoco es el combo asociado al segundo postre del menú —{h, f}, “el frío movedizo”—, ya que éste contiene un helado y δ no. Finalmente, no es tampoco el combo asociado al tercer postre —{t}, “el chancho”—, del que difiere porque δ tiene un flan y el otro no. Las presencias o ausencias que determinan las diferencias entre el subconjunto δ y los subconjuntos listados no son casuales; re­sultan de la lógica interna de δ, de su propiedad definitoria. La diferencia de δ respecto de cualquier subconjunto que se encuentre en correspondencia con un miembro del conjunto es, por lo tanto, necesaria.
   La infructuosa búsqueda de identidad que δ emprende a lo largo de los subconjuntos emparejados, barriéndolos uno a uno, no está limitada a ningún número de verificaciones; esa rueda de reconocimiento, de fracaso forzoso, no tiene un tope de integrantes. El subconjunto δ siempre será otro que los emparejados, cualquiera sea el número de éstos (es decir, cualquiera sea el número de elementos, que es, por definición, el mismo que el de subconjuntos emparejados). Atravesada la región de las parejas, δ proseguirá la búsqueda de su identidad en la región de los subconjuntos solitarios, donde encontrará uno del que no diferirá en ningún elemento. Si n= 3, δ será uno de los 23–3= 5 subconjuntos sueltos; si n= ℵo, δ será uno de los 2o–ℵo= 2o subconjuntos sueltos. En virtud de esta identidad extra­muros y aquella diferencia intramuros, fracasa la pretensión de correlacionar todos los subconjuntos de A con todos los miembros de A.
   Recapitulemos. Por el principio de extensionalidad, δ será (igual a) uno de los subconjuntos de A (donde A es un conjunto cualquiera); por su definición, δ será uno de los subconjuntos no correlacionados con ningún elemento de A. De ahí se deduce que el lugar de δ en la lista de subconjuntos de A estará entre el subconjunto que ocupa el lugar n (exclusive) y el subconjunto que ocupa el lugar 2n (inclusive). Como δ puede ser un subconjunto cualquiera de los comprendidos en este intervalo, el número de todos ellos (la magnitud del intervalo) es igual a 2n–n para un conjunto de n miembros; en breve ilustraremos el caso específico de que n sea infinito.

   Por mucho que facilite la comprensión del argumento, el rastrillaje en un juego de correlaciones que esté en representación de todos, que valga por cualquier juego que pueda hacerse, es prescindible si atendemos un poco mejor a la definición de δ. La prueba a desarrollar es indirecta: una demostración por el absurdo. Se trata de conceder, a título de hipótesis, que δ está en pareja con un miembro del conjunto, y observar qué pasa a partir de ese supuesto. De un imposible sólo cabe esperar un absurdo; si ese no es el caso, es que no era un imposible.
   Convengamos en llamar m al hipotético miembro de un conjunto A correlacionado con el subconjunto δ, que —re­cor­de­mos— es el conjunto de los miembros de A que no pertenecen al subconjunto con el que están correlacionados (tal conjunto —insisto—, en tanto es una combinación de miembros de A, es necesariamente un subconjunto de A). El miembro m debe o bien pertenecer o bien no pertenecer a δ, como cualquier otro miembro de A correlacionado con un subconjunto de A. Pero cualquiera de las dos opciones (y otra no hay) nos lleva a una contradicción: si suponemos que m pertenece a δ, m es un miembro de A que pertenece al subconjunto con el que está correlacionado, circunstancia que lo excluye de δ (así, m pertenece a δ si y sólo si no pertenece a δ); si suponemos que m no pertenece a δ, m es un miembro de A que no pertenece al subconjunto con el que está correlacionado, circunstancia que lo incluye en δ (así, m no pertenece a δ si y sólo si pertenece a δ).
   ¿Qué hacer? Aceptada la impenetrabilidad del absurdo, retrocedemos hasta el desvío que nos condujo al callejón sin salida y declaramos falso el supuesto de que hay un elemento de A correlacionado con δ. Por lo tanto, la moraleja inmediata es que cualquier elemento de A (recordemos que m era un elemento cualquiera de A) fracasa en correlacionarse con δ; la moraleja mediata, que no puede haber una correlación uno a uno entre todos los elementos de A y todos los subconjuntos de A.
   Los argumentos afirman cosas diferentes y complementarias: el primero afirma que el subconjunto de A identificado por δ no está emparejado (verificación heurística) ni puede estar emparejado (corolario de la propiedad definitoria de δ) con ningún miembro de A; el segundo, que ningún miembro de A puede estar emparejado con δ (el otro corolario de la propiedad definitoria de δ). Por definición, δ, porque difiere de cualquier subconjunto emparejado, no puede estar emparejado con ningún miembro de A. Por absurdo, ningún miembro de A puede estar emparejado con δ, si no es siendo y no siendo a la vez miembro de δ.
   δ no genera un subconjunto de A no listado, no emparejado, miembro tardío de P(A); δ identifica (en un segundo momento lógico, perteneciente al establecimiento de las parejas) un subconjunto de A no emparejado, que es un miembro ordinario de P(A).
   Resumamos. Dado que ese al que llamamos “A” es un conjunto cualquiera (y de cualquier tamaño, finito o infinito), se impone que, para todo conjunto, la cantidad de sus subconjuntos (que constituyen su conjunto potencia) será necesariamente mayor que la de sus miembros. Expresado como una relación entre conjuntos, P(A) > A; expresado como una relación aritmética, 2n > n. De aquí se deduce que no puede haber un conjunto de tamaño máximo (ni, en consecuencia, un cardinal que exprese tamaño tamaño), ya que, cualquiera sea el que se postule, su conjunto potencia será aún mayor que él: si el postulante es el conjunto potencia de N, pierde frente a su conjunto potencia: P(P(N)) > P(N); y éste a su vez pierde frente al suyo: P(P(P(N))) > P(P(N)); y así ad infinitum.

   Para cualquier juego de correlaciones que se diseñe, la identificación infalible de un combo no correlacionado con ningún postre puede alcanzarse mediante la formulación del combo δ, como vimos recién, o mediante lo que se conoce como el método diagonal, con el que identificaremos el mismo combo desapareado que identifica δ (en el juego de asociaciones utilizado, el combo {t, f}). Se trata, por lo tanto, de otro modo de presentar δ.
   Para formar el tablero sobre el que discurrirá la diagonal, pongamos primero en fila los miembros del conjunto (los postres del menú) y luego generemos cada uno de sus subconjuntos (cada combo) colocando una tarjeta gris debajo de un miembro si no pertenece al subconjunto y una blanca si pertenece. La lista de los 23 = 8 subconjuntos así obtenida figurará un tablero cuadrangular de tarjetas grises y blancas. Una vez establecidas las correspondencias posibles entre postres —miembros de A— y combos —miembros de P(A)—, la identificación de un combo no apareado se realiza invirtiendo el color de las tarjetas de la diagonal que recorre el tablero de NO a SE: la primera tarjeta del combo 1, que es gris, cambia a blanca (el combo no apareado tendrá entre sus postres a la torta); la segunda tarjeta del combo 2, que es blanca, cambia a gris (el combo no apareado no tendrá entre sus postres al helado); la tercera tarjeta del combo 3, que es gris, cambia a blanca (el flan pertenecerá al combo no apareado).
   Si se quiere verificar heurísticamente que el combo resultante, {t, f}, no es (idéntico a) ninguno de los combos alcanzados por las correlaciones con postres, bastará compararlo con cada uno de ellos: no es el primer combo emparejado, porque éste no tiene torta y δ sí; no es el segundo combo emparejado, porque éste tiene helado y δ no; no es el tercer combo emparejado, porque éste no tiene flan y δ sí. La inversión dia­gonal que se operó es la responsable de cada una de estas diferencias entre δ y los combos asociados a postres, como antes lo fue la definición de δ, que tuvo el mismo efecto. La definición de δ y el combo generado por la in­versión de la diagonal identifican a uno de los 2n–n combos no asociados a ninguno de los n postres del menú (en la lista confeccionada, el combo 6). El siguiente gráfico ilustra el método.


   Los servicios de persuasión del método diagonal y la construcción de δ son excesivos para el argumento “2n > n” cuando n es igual a 3, como en nuestro ejemplo, o a cualquier otro número natural; pero dejan de serlo cuando n es ℵo. En todo caso, el mismo argumento que con cardinales finitos apuntala una obviedad que nunca se aflojó, con cardinales transfinitos revela un hecho que aún suele provocar perplejidad: hay un infinito mayor que otro (lo que a su vez implica que el «infinito» que nos es más familiar, el de los números naturales, es una medida más, y no la ausencia de toda medida).
   Si bien este hecho ya fue demostrado con la reducción al absurdo, no estará de más volver a hacerlo llevando a cabo una mera extensión de la demostración que acabamos de desarrollar en la sobreactuada justificación de que el número de combos es mayor que el del trío de postres. Consiste en aplicar el método diagonal al conjunto potencia —P(N)— del conjunto N de los números naturales, como para no andar suponiendo un conjunto infinito de postres. En lugar de “t”, “h” y “f”, tendremos los elementos “1”, “2”, “3”, “4”, ad infinitum.
   Una fila perpetuamente gris será el subconjunto vacío. Una de las dos filas con tarjetas de colores alternos representará el sub­conjunto de los naturales pares; la otra, el de los impares. Los subconjuntos unitarios (como {7}, {1.410} ó {2.612}) tendrán una sola tarjeta blanca y todas las demás, grises. Otros divulgadores usan «SÍ» y «NO» en vez de las tarjetas blancas y grises que usa Martin Gardner (cf. Gardner, 1966); a él le cedo la palabra (la traducción me pertenece):
   «¿Pueden los subconjuntos de este conjunto infinito ponerse en correspondencia uno a uno con los enteros cardinales? Supóngase que pueden. Simbolícese cada subconjunto con una hilera de tarjetas, como antes, sólo que ahora cada hilera continúa interminablemente hacia la derecha. Imagínese estas hileras infinitas listadas en un orden cualquiera y numeradas 1, 2, 3,... de arriba abajo.


   Si continuamos formando tales hileras, ¿comprenderá eventualmente la lista a todos los subconjuntos? No, porque hay un número infinito de modos de producir un subconjunto que no pueda estar en la lista. El modo más simple consiste en considerar el conjunto diagonal de tarjetas indicado por la flecha y suponer entonces que se da vuelta cada tarjeta a lo largo de esta diagonal (es decir, todas las tarjetas que están boca abajo se ponen boca arriba, todas las tarjetas que están boca arriba se ponen boca abajo). El nuevo conjunto dia­gonal no puede ser el primer subconjunto porque su primera tarjeta difiere de la primera tarjeta del subconjunto 1. No puede ser el segundo subconjunto porque su segunda tarjeta difiere de la segunda tarjeta del subconjunto 2. En general, no puede ser el n‑ésimo subconjunto porque su n‑ési­ma tarjeta difiere de la n‑ésima tarjeta del subconjunto n. Dado que hemos producido un subconjunto que no puede estar en la lista, aun cuando la lista es infinita, nos vemos forzados a concluir que la suposición original es falsa. [...] Esta prueba muestra que semejante conjunto no puede corresponder uno a uno con los enteros cardinales.»

   En resumen, los números “1, 2, 3, 4,...”, siendo infinitos, no alcanzan para numerar a todos los subconjuntos de N: el método diagonal demuestra la existencia de al menos 1 subconjunto que no está en la lista hecha. Y de nada serviría hacer una nueva lista incorporando al subconjunto que resultó de la inversión diagonal, ya que una nueva aplicación del método volvería a arrojar un subconjunto no numerado.
   Así, el conjunto de los subconjuntos de N (el conjunto potencia de N) es un conjunto infinito no numerable con los infinitos números naturales que hay. O también: es un conjunto infinito que no se puede poner en correspondencia uno a uno con el conjunto infinito de los números naturales; luego, su infinitud es mayor. Hay un infinito mayor que otro y es el que cumple la relación 2n > n, el que la extiende a los casos en que n es infinito: 2o > ℵo.
   Sabíamos que si N medía ℵo, P(N) medía 2o. Lo que no sabíamos, y Cantor demostró con la diagonal, es que la segunda medida es mayor que la primera. Conjeturó también (no lo demostró; el problema sigue abierto) que es inmediatamente mayor, que es el entero transfinito que sigue al entero transfinito ℵo en orden de magnitud creciente. Es la Hipótesis del Continuo (en referencia a una recta, que tiene tantos puntos como números reales hay entre 0 y 1 ─y, por extensión, en total─ y como subconjuntos tiene N, como también demostró Cantor).
   Pero ahora no nos interesa ir por ahí. Quedémonos en que se ha demostrado que 2o > ℵo y P(N) > N, no importa si mediata o inmediatamente. Hay una lista infinita de subconjuntos de N (selecciones de números naturales) y Cantor nos ha mostrado 1 subconjunto que no está en la lista. Sigamos por acá: ¿cuántos subconjuntos de N no están en la lista? Sabemos que en total, entre listados (ℵo) y no listados, hay 2o subconjuntos de N. Tenemos el resultado; veamos la cuenta. La pregunta es cómo se compone ese total. Para eso, recordemos estas ecuaciones de la artimética transfinita (con n finito):
    o + n = ℵo
    o + ℵo = ℵo × 2 = ℵo y, en general, ℵo × n = ℵo
    o × ℵo = ℵo2 = ℵo y, en general, ℵon = ℵo

   Se han invertido las tarjetas de 1 diagonal para generar 1 subconjunto que no está numerado con algún entero positivo, de los que hay ℵo. Si ese subconjunto fuese el único que no está en la lista de los subconjuntos numerados, el total de subconjuntos, entre numerados y no numerados, sería ℵo + 1 = ℵo. Descartamos, entonces, que el subconjunto obtenido por la inversión de la diagonal sea el único que falte numerar. ¿Cuántos faltan, entonces?
   En rigor, podríamos trazar e invertir tantas diagonales como elementos tenemos para incluir o no en un subconjunto. Todas las diagonales nacerían de la primera hilera de tarjetas, como lo hace la diagonal ya trazada; la segunda diagonal partiría de la tarjeta que indica la ausencia o presencia del elemento “2” en el primer subconjunto; la tercera diagonal partiría de la tercera tarjeta y, en general, la enésima diagonal lo haría de la enésima tarjeta del primer subconjunto de la lista.


   Así, podemos generar con este método ℵo subconjuntos no numerados, ausentes en la lista de Gardner. Con ellos podemos hacer otra lista, cuyo primer subconjunto será el construido por la primera diagonal; el segundo, por la segunda; etc. Las tarjetas que faltan para completar los subconjuntos a partir del segundo de la lista son indiferentes; bien podría convenirse que fueran todas blancas o todas grises. Lo que importa es que cada uno de los subconjuntos de esta nueva lista diferirá necesariamente en al menos un elemento de cada uno de los subconjuntos de la lista de Gardner.


   Notemos que si ahora trazásemos una diagonal desde el vértice superior izquierdo de esta lista y diésemos vuelta sus tarjetas, obtendríamos el primer subconjunto numerado de la lista de Gardner; del mismo modo, el segundo subconjunto numerado sería idéntico —desde la segunda posición— al construido aquí por la segunda diagonal invertida, y así con el resto.
   Si se exige que los subconjuntos construidos desde la segunda diagonal de esta lista sean explícitamente idénticos, en todas sus posiciones, a los subconjuntos del arreglo original, bastará con trazar en éste diagonales dobles o compuestas. Desde la segunda, una diagonal con orientación SO-NE se continuará en otra con orientación NO-SE.
   Si existe, la otra diagonal simple del cuadrado —la primera es la diagonal de Cantor— se traza en el infinito y cruza el arreglo de SO a NE. ¿Y se cruza con la de Cantor, que viene de NO a SE? Sí, pero en el infinito, como las paralelas. Es la X más problemática del mundo mundial.


   La nueva lista de subconjuntos ausentes ya no exhibirá lugares vacíos ni necesitará una convención especial para su relleno; se verá así:


   Si sobre esta lista trazásemos ahora las diagonales dobles que hicimos en la primera, no obtendríamos una tercera lista de subconjuntos de N, sino de nuevo la primera. Un dispositivo es el inverso del otro respecto de este método diagonal; en ambos, por lo tanto, hay igual cantidad de hileras de tarjetas (o miembros del conjunto P(N), o sea, subconjuntos de N): ℵo hileras (o miembros de P(N) o subconjuntos de N). Y el mismo número de hileras habrá en la unión de las dos listas: si a la primera la llamamos A y a la segunda B, los subconjuntos listados de ambas pueden ser puestos en una correspondencia biunívoca con los números naturales (o distribuidos en una progresión, si consideramos solamente la fila inferior; y no hay progresión que no sea contable):


   Así, si los subconjuntos de la lista B fuesen todos los que no están en la lista originaria, el total de subconjuntos de N, entre numerados y no numerados, no sería 2o, sino ℵo, ya que ℵo + ℵo = ℵo. Debe haber, en consecuencia, 2o subconjuntos no incluidos en el dispositivo infinito de Gardner.
   Una vez establecido esto, el mismo argumento se puede volver a utilizar para probar que también hay 2o subconjuntos fuera de la lista B además de la A: siendo que hay ℵo subconjuntos generados por diagonales, si hubiera ℵo subconjuntos no generables por el método diagonal, no habría 2o subconjuntos ausentes de la lista A, sino otra vez ℵo + ℵo = ℵo; y si este fuera el caso, nuevamente nos encontraríamos con que el total de subconjuntos de N, entre ausentes (ℵo) y presentes (ℵo), no sería 2o, sino ℵo.
Resumiendo: hay 2o subconjuntos que no están en la lista de Gardner, que tiene ℵo subconjuntos numerados; de ellos, una parte es numerable (hay ℵo subconjuntos que podemos construir con el método diagonal) y otra es no numerable (hay 2o subconjuntos que no podemos construir con el método diagonal). La fórmula que expresa esto puede escribirse así:
o + (ℵo + 2o) = 2o.
   Recordemos que un conjunto es infinito si puede ponerse en relación 1 a 1 con un subconjunto propio (superior al vacío, inferior a la totalidad). Así como N y su subconjunto de los enteros impares son equipotentes (ambos tienen ℵo miembros), también lo son P(N) y una parte suya (por ejemplo, aquella cuyos miembros son los 2o subconjuntos de N que no están en la lista de Gardner). La definición de conjunto infinito recorre la infinita jerarquía de tamaños infinitos.
   Recordemos también que un conjunto es menor que otro si no puede ponerse en relación 1 a 1 con él y sí con alguno de sus subconjuntos propios. El doble requisito se cumple: N no puede ponerse en correspondencia 1 a 1 con P(N), pero sí con una parte de P(N) (aquella cuyos miembros son los ℵo subconjuntos de N que hay en la lista de Gardner).





Así se ve desde ayer:




   Podemos seleccionar los miembros de un conjunto de a 1, de a 2, de a 3, etc; podemos seleccionarlos, en general, hasta de a n (siendo n el número total de miembros que tiene el conjunto). Cada una de estas selecciones forma un conjunto que está incluido en aquel al que pertenecen los miembros seleccionados; se trata, por lo tanto, de un subconjunto suyo. Así, un conjunto A1 es un subconjunto de un conjunto A si todos sus miembros son también miembros del conjunto A.
   La alternativa de seleccionar los miembros de a 1 hace que con cada uno de ellos se pueda hacer un subconjunto; siendo así, la cantidad de subconjuntos unitarios que puede tener un conjunto es igual a la cantidad de sus miembros. Mientras no podamos seleccionar miembros de a más de los que hay, no podrá haber un subconjunto que sea mayor que el con­junto. Como podemos seleccionar de a tantos como hay, sí puede haber un subconjunto (y sólo uno) de igual tamaño —y composición— que el con­junto; se dice entonces que to­do conjunto es subconjunto de sí mismo (o sea, está incluido en sí mismo, ya que todos los miembros de la selección máxima son miembros a su vez del conjunto sobre el que se la realiza). La abstención de toda selección también forma un conjunto: el conjunto vacío, Ø, donde no hay miembros seleccionados. Como esa abstención es posible en todos los ca­sos, el conjunto vacío es subconjunto de cualquier conjunto.

   Supongamos que he almorzado y llega el momento del postre. El restaurante del Hotel Hilbert es modesto: el menú sólo incluye flan, helado y torta. Mis opciones no son misteriosas: puedo elegir uno de esos postres, algunos, todos o ninguno. La relación que hay entre un conjunto y sus subconjuntos es la relación que existe entre un menú y sus opciones de combinación. Se suele llamar “combos” a las combinaciones plurales (ni unitarias ni vacías) de los items de un menú, armadas para hacer ofertas. Pasando por alto esta motivación comercial y aquel requisito cardinal (¿qué sentido práctico puede te­ner hacer un combo unitario o uno vacío?), llamaremos “combo” a cualquier selección de piezas de un menú, incluso a aquella que renuncie a todas, a ninguna, o a todas menos una. En nuestro caso, el menú consiste en un conjunto de pos­tres; un combo, en un conjunto integrado por al menos uno de esos pos­­tres (es decir, uno, algunos o todos) o por ninguno.
   Cada postre del menú tiene sólo dos alternativas en relación con un combo: figurar o no en él. (Traducido a términos conjuntistas, cada miembro de un conjunto tiene dos alternativas en relación con cada subconjunto: per­tenecer o no a él.) El número de combos es una relación entre el número de alternativas que tiene un postre en un combo y el número de postres que ofrece el menú: 23= 8 combos u opciones de combinación, en nuestro ejemplo; y generalizando, un conjunto de n miembros tendrá 2n subconjuntos. Al conjunto cuyos miembros son los subconjuntos de un conjunto cualquiera A se lo llama conjunto potencia de A; en símbolos, P(A).

   Cualquier subconjunto que no sea el subconjunto que selecciona todos los elementos disponibles (es decir, cualquier subconjunto que no coincida con la totalidad) es un subconjunto propio del conjunto en cuestión. Pa­ra ser más preciso, to­dos los elementos de un subconjunto propio de A son también elementos de A, pero no a la inversa: debe haber al menos un elemento de A que no sea elemento del subconjunto para que éste sea un subconjunto propio, es decir, para que se trate de un conjunto incluido en A que sea diferente de A. (Una relación recíproca de inclusión entre dos conjuntos —donde todos los miembros del primero son miembros del segundo, y viceversa— implica la identidad entre sus miembros, lo que a su vez implica la identidad de los conjuntos; no otra es la relación entre un conjunto A y el subconjunto que selecciona todos sus miembros.) Así, un conjunto de n miembros tendrá 2n–1 subconjuntos propios (el excluido es el subconjunto que coincide con la totalidad). Por ejemplo: los 22–1 = 3 subconjuntos propios del conjunto {a, b} son el subconjunto vacío, Ø; el subconjunto {a}; y el subconjunto {b}.
   Un conjunto infinito se distingue de uno finito en que sus miembros pueden correlacionarse con los de un subconjunto propio. Ese era el caso, por ejemplo, del conjunto de los números naturales, correlacionado con el de sus cuadrados o con el de los naturales pares. Lo que a un conjunto finito le está negado, a uno infinito lo caracteriza, lo identifica como tal. Para cualesquiera dos conjuntos que comparemos, sean finitos o in­finitos, uno será menor que el otro si no alcanza a correlacionarse con él y sí con alguno de sus subconjuntos propios. Veremos que este será el caso de cualquier conjunto en relación con su conjunto potencia.

   Pasemos revista a nuestras ocho posibilidades (el orden en que aparecen los postres en un combo es indiferente). Puedo elegir comer un helado y una torta, o una torta y un flan, o un flan y un helado, o un helado o una torta o un flan. Puedo también no elegir ningún postre para comer (el conjunto vacío es subconjunto de cualquier conjunto); en el caso de un menú tan mezquino que no me ofrezca postre alguno para elegir (es decir, en el caso del conjunto vacío), no tengo otra alternativa que no elegir ninguno (el conjunto vacío es subconjunto incluso del conjunto vacío; de hecho, es su único subconjunto: 20=1). También puedo elegir todos los postres del menú (todo conjunto es subconjunto de sí mismo); en el caso del menú mezquino recién aludido, elegir todos los postres equivaldrá a no contar con ninguno (todo conjunto es subconjunto de sí mismo, incluso el conjunto vacío). En abreviaturas, y cada uno de ellos con un apodo propio, los combos que se pueden hacer con nuestro menú de 3 postres son los siguientes subconjuntos: Ø, “las ganas”; {h}, “el frío”; {t}, “el chancho”; {f}, “el movedizo”; {h, t}, “el chancho frío”; {h, f}, “el frío movedizo”; {t, f}, “el chancho movedizo” (hasta aquí, los subconjuntos propios); y {h, t, f}, “el frío chancho movedizo”.

   Como 23 es mayor que 3, es evidente que si quisiéramos poner en pa­reja a los postres del menú con los combos siempre nos quedarían 23–3= 5 combos despechados. Tal vez también nos resulte evidente que cualquier nú­me­ro finito de postres conservará tanto la superioridad 2n>n como la igualdad entre 2n–n y el número de combos no correspondidos; la aventura es demostrar que estas relaciones se conservarán con cualquier número de pos­tres, aun con uno infinito. Empecemos por la demostración de que la cantidad de subconjuntos que se pueden hacer con los miembros de un conjunto A cualquiera (finito o infinito) es mayor que la cantidad de miembros del propio conjunto; en símbolos, P(A)>A (el conjunto potencia de A es mayor que A).
   Lo primero que conviene advertir es que la cantidad de subconjuntos no puede ser en ningún caso menor que la de elementos. Con cada elemento de un conjunto se puede formar un subconjunto que lo tiene por único miembro (es decir, un subconjunto unitario); luego, todo conjunto, finito o infinito, tendrá al menos igual número de subconjuntos que de miembros (incluido el conjunto vacío, cuyo único subconjunto no es un subconjunto unitario).
   El conjunto de los combos unitarios que se pueden hacer con el menú de tres pos­tres constituye una parte (un subconjunto propio) del total de combos (es decir, del conjunto potencia del conjunto de tres postres que es el menú). Y sabemos que una parte de un conjunto finito no puede tener el mismo número de miembros que el conjunto, sino uno menor (esa imposibilidad lo diferencia, suficientemente, de un conjunto infinito). Por lo tanto, si hay menos combos unitarios que combos de un menú finito, y si hay tantos combos unitarios como postres de cualquier menú (finito o infinito), entonces hay menos postres que combos de un menú finito.
   Pero un subconjunto propio de un conjunto infinito sí puede tener el mismo número de miembros que el conjunto (esa posibilidad lo diferencia, suficientemente, de un conjunto finito). El conjunto de los ℵo combos unitarios de un menú de ℵo postres es un subconjunto propio del conjunto potencia del menú infinito, cuyos miembros son todos los combos, unitarios y no unitarios; por lo tanto, nada impide, a priori, que haya tantos combos como combos unitarios de un menú infinito (independientemente de que, desde ya, ni en este ni en ningún caso los combos unitarios sean todos los que hay, todos los que se pueden formar seleccionando postres del menú). De ahí se sigue que si el número infinito de combos no es igual al número infinito de postres, entonces debe ser mayor, ya que la existencia de tantos combos unitarios como postres descarta la posibilidad de que sea menor. Demostrar que 2n es mayor que n aun cuando n es infinito prestará indirectamente el servicio de demostrar que el número infinito de combos (2o) que se pueden hacer con ℵo postres es mayor que el número infinito de combos unitarios (ℵo).


   Supongamos que, pese a la evidencia, intentamos correlacionar cada postre de nuestro menú finito con un combo, en la esperanza de abarcarlos a todos. Por supuesto, la empresa fracasa en su tercer paso, a cinco del final. Una tentativa posible se vería así:


   Nombrados por orden de aparición, en la correlación han entrado los subconjuntos “el movedizo”, “el frío movedizo” y “el chancho”; los otros cinco se quedaron afuera.
   Concentrémonos en las parejas: de un lado hay 1 postre del menú y del otro hay 1 combo, donde puede haber al menos 1 postre del menú o ninguno. Siendo todo lo que hay para ver, nos entretenemos pensando si un combo tie­ne entre sus pos­tres al postre con el que está asociado. Notamos que no es el caso de la primera pareja: el combo “el movedizo”, formado por la única selección de un flan, no está asociado a un flan, sino a una torta. La situación cambia con la segunda pareja: en el combo “el frío movedizo” se encuentra el helado, que es el postre con el que está asociado. La discordia retorna con la tercera pareja: el combo “el chancho”, cuyo postre solitario es una torta, no está correlacionado con la torta del menú, sino con el flan.
   El ejercicio nos sugiere la fórmula de un nuevo combo: el combo de los postres que no integran el combo con el que están asociados; llamémoslo δ.

   La letra griega delta se corresponde con nuestra “d”, que es la inicial de “diferencia” y de “diagonal”; más adelante veremos cómo el subconjunto δ, cuya formulación implica una diferencia respecto de todos los subconjuntos correlacionados, se obtiene mediante lo que se conoce como el método diagonal de Cantor.

   Los postres que integran nuestro combo δ son, para el caso, la torta y el flan. En tanto consiste en una combinación de postres del menú, se trata de un combo como cualquier otro. Y si queda alguna duda, bastará con señalar que, ni bien lo expresamos (a saber: {t, f}), advertimos que el subconjunto δ y el subconjunto “el chancho movedizo”, que es uno de los cinco no emparejados, tienen los mis­mos elementos; luego, por el principio de extensionalidad, son el mismo conjunto. δ no forma un nuevo combo; identifica uno ya formado.

   Se llama extensión de un conjunto a las cosas que caen bajo la propiedad que define al conjunto, que de ese modo acreditan su membresía. El principio de extensionalidad dice simplemente que dos conjuntos con la misma extensión (y se supone, si no se quiere ser tautológico, con diferentes propiedades definitorias) son el mismo conjunto.
   El conjunto de los triángulos y el conjunto de los polígonos de 3 lados son el mismo conjunto porque tienen los mismos miembros. Otro tanto puede decirse del conjunto de las zanahorias con alas y del conjunto de los celulares del siglo XIX, si aceptamos que no tener ningún miembro es tener los mismos miembros (la misma membresía, si se prefiere). La diferencia es que entre "triángulos" y "polígonos de 3 lados" hay una relación de definición, mientras que "los celulares del siglo XIX" no define ni dice nada de "las zanahorias con alas", y viceversa. Aunque tenga muchos nombres, hay un solo conjunto de triángulos; aunque sus muchos nombres no se relacionen entre sí, hay un solo conjunto vacío.

   Los 2n subconjuntos de un conjunto de n miembros preexisten al planteo de si todos ellos pueden estar en pareja monogámica con un miembro del conjunto. Por lo tanto, si creemos que siempre hay al menos uno que queda afuera de la correlación, nuestro problema será indicar cómo identificarlo. Y si una visita divina nos hubiera revelado que, efectivamente, hay ahí 2n–n subconjuntos no correlacionados, nuestro problema sería entonces cómo identificar, cada vez, siquiera uno de esos 2n–n subconjuntos. Como solución a ese problema, Cantor da con la propiedad que funda a δ.
   ¿Qué diferencia a las dos definiciones del subconjunto? La definición de “el chancho movedizo”, combo del menú compuesto por la torta y el flan, no es determinante para que el combo sea uno de los cinco excluidos de la correlación; la definición de δ, combo de los postres que no integran el combo con el que están asociados, sí lo es.

   Si todos los postres del menú integrasen el combo al que están asociados, la definición de δ no perdería su fuerza de exclusión: en ese caso, el subconjunto que se demuestra que no puede participar de ninguna correlación es el subconjunto vacío; él sería δ en esas condiciones. He aquí un juego de correlaciones donde su­cede esto:
   t ↔ {t, f}
   h ↔ {t, h}
   f ↔ {h, f}
   El subconjunto δ de este juego no tiene ningún miembro: es Ø, uno de los cinco subconjuntos excluidos.

   “El chancho movedizo” está sin pareja en el diseño de correlaciones que vimos, y puede estarlo en otros, pero no en todos; en cambio, δ está sin pareja en cualquier diseño y en todos. Por lo tanto, δ puede ser idéntico a cualquier combo del menú, y lo será incluso antes de agotar todos los posibles diseños de correlaciones, para ser otra vez el avatar de alguno de los ocho. Veamos ocho posibles juegos de asociaciones, en cada uno de los cuales δ asume la identidad de un combo diferente:


   Desarrollar 2n juegos de correlaciones entre los n miembros de un conjunto y algunos de sus 2n subconjuntos en ningún caso es necesario para demostrar que no hay juego en el que se logre la igualdad numérica (la correspondencia perfecta) entre miembros y subconjuntos. Y en un tipo de casos es además imposible ese despliegue, a saber: cuando n es infinito —y 2n con él—. Más económico, elegante y contundente es atender a la definición de δ. En razón de la propiedad o predicado que lo funda, δ es tal que cualquier subconjunto S que esté correlacionado con un elemento del conjunto diferirá de δ en al menos 1 miembro, presente en δ y ausente en S, o presente en S y ausente en δ.
   Si el rastrillaje lo hacemos en nuestro primer juego de correlaciones, comprobaremos que δ —en este caso, el combo {t, f}— no es (idéntico a) el combo asociado al primer postre del menú, ya que el combo δ contiene una torta y el combo examinado —{f}, “el movedizo”—, no. Tampoco es el combo asociado al segundo postre del menú —{h, f}, “el frío movedizo”—, ya que éste contiene un helado y δ no. Finalmente, tampoco es el combo asociado al tercer postre —{t}, “el chancho”—, del que difiere porque δ tiene un flan y el otro no. Las presencias o ausencias que determinan las diferencias entre el subconjunto δ y los subconjuntos listados no son casuales; re­sultan de la lógica interna de δ, de su propiedad definitoria. La diferencia de δ respecto de cualquier subconjunto que se encuentre en correspondencia con un miembro del conjunto es, por lo tanto, necesaria, no algo accidental o contingente.
   La infructuosa búsqueda de identidad que δ emprende a lo largo de los subconjuntos emparejados, barriéndolos uno a uno, no está limitada a ningún número de verificaciones; esa rueda de reconocimiento, de fracaso forzoso, no tiene un tope de integrantes. El subconjunto δ siempre será otro que los emparejados, cualquiera sea el número de éstos (es decir, cualquiera sea el número de elementos, que es, por definición, el mismo que el de subconjuntos emparejados). Atravesada la región de las parejas, δ proseguirá la búsqueda de su identidad en la región de los subconjuntos solitarios, donde encontrará uno del que no diferirá en ningún elemento. Si n= 3, δ será uno de los 23–3= 5 subconjuntos sueltos; si n= ℵo, δ será uno de los 2o–ℵo= 2o subconjuntos sueltos. En virtud de esta identidad extra­muros y aquella diferencia intramuros, fracasa la pretensión de correlacionar todos los subconjuntos de A con todos los miembros de A.
   Recapitulemos. Por el principio de extensionalidad, δ será (igual a) uno de los subconjuntos de A (donde A es un conjunto cualquiera); por su definición, δ será uno de los subconjuntos no correlacionados con ningún elemento de A. De ahí se deduce que el lugar de δ en la lista de subconjuntos de A estará entre el subconjunto que ocupa el lugar n (exclusive) y el subconjunto que ocupa el lugar 2n (inclusive). Como δ puede ser un subconjunto cualquiera de los comprendidos en este intervalo, el número de todos ellos (la magnitud del intervalo) es igual a 2n–n para un conjunto de n miembros; en breve ilustraremos el caso específico de que n sea infinito.

   Por mucho que facilite la comprensión del argumento, el rastrillaje en un juego de correlaciones que esté en representación de todos, que valga por cualquier juego que pueda hacerse, es prescindible si atendemos un poco mejor a la definición de δ. La prueba a desarrollar es indirecta: una demostración por el absurdo. Se trata de conceder, a título de hipótesis, que δ está en pareja con un miembro del conjunto, y observar qué pasa a partir de ese supuesto. De un imposible sólo cabe esperar un absurdo; si ese no es el caso, es que no era un imposible.
   Convengamos en llamar m al hipotético miembro de un conjunto A correlacionado con el subconjunto δ, que —re­cor­de­mos— es el conjunto de los miembros de A que no pertenecen al subconjunto con el que están correlacionados. El miembro m debe o bien pertenecer o bien no pertenecer a δ, como cualquier otro miembro de A correlacionado con un subconjunto de A. Pero cualquiera de las dos opciones (y otra no hay) nos lleva a una contradicción: si suponemos que m pertenece a δ, m es un miembro de A que pertenece al subconjunto con el que está correlacionado, circunstancia que lo excluye de δ (así, m pertenece a δ si y sólo si no pertenece a δ); si suponemos que m no pertenece a δ, m es un miembro de A que no pertenece al subconjunto con el que está correlacionado, circunstancia que lo incluye en δ (así, m no pertenece a δ si y sólo si pertenece a δ).
   ¿Qué hacer? Aceptada la impenetrabilidad del absurdo, retrocedemos hasta el desvío que nos condujo al callejón sin salida y declaramos falso el supuesto de que hay un elemento de A correlacionado con δ. Por lo tanto, la moraleja inmediata es que cualquier elemento de A (recordemos que m era un elemento cualquiera de A) fracasa en correlacionarse con δ. La moraleja mediata es que no puede haber una correlación uno a uno entre todos los elementos de A y todos los subconjuntos de A.
   Los argumentos afirman cosas diferentes y complementarias: el primero afirma que el subconjunto de A identificado por δ no está emparejado (verificación heurística) ni puede estar emparejado (corolario de la propiedad definitoria de δ) con ningún miembro de A; el segundo, que ningún miembro de A puede estar emparejado con δ (el otro corolario de la propiedad definitoria de δ). Por definición, δ, porque difiere de cualquier subconjunto emparejado, no puede estar emparejado con ningún miembro de A. Por absurdo, ningún miembro de A puede estar emparejado con δ, si no es siendo y no siendo a la vez miembro de δ.
   Resumamos. Dado que ese al que llamamos “A” es un conjunto cualquiera (y de cualquier tamaño, finito o infinito), se impone que, para todo conjunto, la cantidad de sus subconjuntos será necesariamente mayor que la de sus miembros. Expresado como una relación entre conjuntos, P(A) > A; expresado como una relación aritmética, 2n > n.

De ahí se deduce que no puede haber un conjunto de tamaño máximo (ni, en consecuencia, un cardinal que exprese tamaño tamaño), ya que, cualquiera sea el que se postule, su conjunto potencia será aún mayor que él: si el postulante es el conjunto potencia de N, pierde frente a su conjunto potencia: P(P(N)) > P(N); y éste a su vez pierde frente al suyo: P(P(P(N))) > P(P(N)); y así ad infinitum.

   Para cualquier juego de correlaciones que se diseñe, la identificación infalible de un combo no correlacionado con ningún postre puede alcanzarse mediante la formulación del combo δ, como vimos recién, o mediante lo que se conoce como el método diagonal, con el que identificaremos el mismo combo desapareado que identifica δ (en el juego de asociaciones utilizado, el combo {t, f}). Se trata de otro modo de presentar δ.
   Para formar el tablero sobre el que discurrirá la diagonal, pongamos primero en fila los miembros del conjunto (los postres del menú) y luego generemos cada uno de sus subconjuntos (cada combo) colocando una tarjeta gris debajo de un miembro si no pertenece al subconjunto y una blanca si pertenece. La lista de los 23 = 8 subconjuntos así obtenida figurará un tablero cuadrangular de tarjetas grises y blancas.
   Una vez establecidas las correspondencias posibles entre postres —miembros de A— y combos —miembros de P(A)—, la identificación de un combo no apareado se realiza invirtiendo el color de las tarjetas de la diagonal que recorre el tablero de NO a SE: la primera tarjeta del combo 1, que es gris, cambia a blanca (el combo no apareado tendrá entre sus postres a la torta); la segunda tarjeta del combo 2, que es blanca, cambia a gris (el combo no apareado no tendrá entre sus postres al helado); la tercera tarjeta del combo 3, que es gris, cambia a blanca (el flan pertenecerá al combo no apareado).
   Si se quiere verificar heurísticamente que el combo resultante, {t, f}, no es (idéntico a) ninguno de los combos alcanzados por las correlaciones con postres, bastará compararlo con cada uno de ellos: no es el primer combo emparejado, porque éste no tiene torta y δ sí; no es el segundo combo emparejado, porque éste tiene helado y δ no; no es el tercer combo emparejado, porque éste no tiene flan y δ sí. La inversión dia­gonal que se operó es la responsable de cada una de estas diferencias entre δ y los combos asociados a postres, como antes lo fue la definición de δ, que tuvo el mismo efecto. La definición de δ y el combo generado por la in­versión de la diagonal identifican a uno de los 2n–n combos no asociados a ninguno de los n postres del menú (en la lista confeccionada, el combo 6). El siguiente gráfico ilustra el método.


   Los servicios de persuasión del método diagonal y la construcción de δ son excesivos para el argumento “2n > n” cuando n es igual a 3, como en nuestro ejemplo, o a cualquier otro número natural; pero dejan de serlo cuando n es ℵo. En todo caso, el mismo argumento que con cardinales finitos apuntala una obviedad que nunca se aflojó, con cardinales transfinitos revela un hecho que aún suele provocar perplejidad: hay un infinito mayor que otro (lo que a su vez implica que el «infinito» que nos es más familiar, el de los números naturales, es una medida más, y no la ausencia de toda medida).
   Si bien este hecho ya fue demostrado con la reducción al absurdo, no estará de más volver a hacerlo llevando a cabo una mera extensión de la demostración que acabamos de desarrollar en la sobreactuada justificación de que el número de combos es mayor que el del trío de postres. Consiste en aplicar el método diagonal al conjunto potencia —P(N)— del conjunto N de los números naturales, como para no andar suponiendo un conjunto infinito de postres. En lugar de “t”, “h” y “f”, tendremos los elementos “1”, “2”, “3”, “4”, ad infinitum.
   Una fila perpetuamente gris será el subconjunto vacío. Una de las dos filas con tarjetas de colores alternos representará el sub­conjunto de los naturales pares; la otra, el de los impares. Los subconjuntos unitarios (como {7}, {1.410} ó {2.612}) tendrán una sola tarjeta blanca y todas las demás, grises. Otros divulgadores usan «SÍ» y «NO» en vez de las tarjetas blancas y grises que usa Martin Gardner (cf. Gardner, 1966); a él le cedo la palabra (la traducción me pertenece):
   «¿Pueden los subconjuntos de este conjunto infinito ponerse en correspondencia uno a uno con los enteros cardinales? Supóngase que pueden. Simbolícese cada subconjunto con una hilera de tarjetas, como antes, sólo que ahora cada hilera continúa interminablemente hacia la derecha. Imagínese estas hileras infinitas listadas en un orden cualquiera y numeradas 1, 2, 3,... de arriba abajo.


   Si continuamos formando tales hileras, ¿comprenderá eventualmente la lista a todos los subconjuntos? No, porque hay un número infinito de modos de producir un subconjunto que no pueda estar en la lista. El modo más simple consiste en considerar el conjunto diagonal de tarjetas indicado por la flecha y suponer entonces que se da vuelta cada tarjeta a lo largo de esta diagonal (es decir, todas las tarjetas que están boca abajo se ponen boca arriba, todas las tarjetas que están boca arriba se ponen boca abajo). El nuevo conjunto dia­gonal no puede ser el primer subconjunto porque su primera tarjeta difiere de la primera tarjeta del subconjunto 1. No puede ser el segundo subconjunto porque su segunda tarjeta difiere de la segunda tarjeta del subconjunto 2. En general, no puede ser el n‑ésimo subconjunto porque su n‑ési­ma tarjeta difiere de la n‑ésima tarjeta del subconjunto n. Dado que hemos producido un subconjunto que no puede estar en la lista, aun cuando la lista es infinita, nos vemos forzados a concluir que la suposición original es falsa. [...] Esta prueba muestra que semejante conjunto no puede corresponder uno a uno con los enteros cardinales.»

   En resumen, los números “1, 2, 3, 4,...”, siendo infinitos, no alcanzan para numerar a todos los subconjuntos de N: el método diagonal demuestra la existencia de al menos 1 subconjunto que no está en la lista hecha. Y de nada serviría hacer una nueva lista incorporando al subconjunto que resultó de la inversión diagonal, ya que una nueva aplicación del método volvería a arrojar un subconjunto no numerado.
   Así, el conjunto de los subconjuntos de N (el conjunto potencia de N) es un conjunto infinito no numerable con los infinitos números naturales que hay. O también: es un conjunto infinito que no se puede poner en correspondencia uno a uno con el conjunto infinito de los números naturales; luego, su infinitud es mayor. Hay un infinito mayor que otro y es el que cumple la relación 2n > n, el que la extiende a los casos en que n es infinito: 2o > ℵo.
   Sabíamos que si N medía ℵo, P(N) medía 2o. Lo que no sabíamos, y Cantor demostró con la diagonal, es que la segunda medida es mayor que la primera. Conjeturó también (no lo demostró; el problema sigue abierto) que es inmediatamente mayor, que es el entero transfinito que sigue al entero transfinito ℵo en orden de magnitud creciente. Es la Hipótesis del Continuo (en referencia a una recta, que tiene tantos puntos como números reales hay entre 0 y 1 ─y, por extensión, en total─ y como subconjuntos tiene N, como también demostró Cantor).
   Pero ahora no nos interesa ir por ahí. Quedémonos en que se ha demostrado que 2o > ℵo y P(N) > N, no importa si mediata o inmediatamente. Hay una lista infinita de subconjuntos de N (selecciones de números naturales) y Cantor nos ha mostrado 1 subconjunto que no está en la lista. Sigamos por acá: ¿cuántos subconjuntos de N no están en la lista? Sabemos que en total, entre listados (ℵo) y no listados, hay 2o subconjuntos de N. Tenemos el resultado; veamos la cuenta. La pregunta es cómo se compone ese total. Para eso, recordemos estas ecuaciones de la artimética transfinita (con n finito):
    o + n = ℵo
    o + ℵo = ℵo × 2 = ℵo y, en general, ℵo × n = ℵo
    o × ℵo = ℵo2 = ℵo y, en general, ℵon = ℵo

   Se han invertido las tarjetas de 1 diagonal para generar 1 subconjunto que no está numerado con algún entero positivo, de los que hay ℵo. Si ese subconjunto fuese el único que no está en la lista de los subconjuntos numerados, el total de subconjuntos, entre numerados y no numerados, sería ℵo + 1 = ℵo. Descartamos, entonces, que el subconjunto obtenido por la inversión de la diagonal sea el único que falte numerar. ¿Cuántos faltan, entonces?
   En rigor, podríamos trazar e invertir tantas diagonales como elementos tenemos para incluir o no en un subconjunto. Todas las diagonales nacerían de la primera hilera de tarjetas, como lo hace la diagonal ya trazada; la segunda diagonal partiría de la tarjeta que indica la ausencia o presencia del elemento “2” en el primer subconjunto; la tercera diagonal partiría de la tercera tarjeta y, en general, la enésima diagonal lo haría de la enésima tarjeta del primer subconjunto de la lista.


   Así, podemos generar con este método ℵo subconjuntos no numerados, ausentes en la lista de Gardner. Con ellos podemos hacer otra lista, cuyo primer subconjunto será el construido por la primera diagonal; el segundo, por la segunda; etc. Las tarjetas que faltan para completar los subconjuntos a partir del segundo de la lista son indiferentes; bien podría convenirse que fueran todas blancas o todas grises. Lo que importa es que cada uno de los subconjuntos de esta nueva lista diferirá necesariamente en al menos un elemento de cada uno de los subconjuntos de la lista de Gardner.


   Notemos que si ahora trazásemos una diagonal desde el vértice superior izquierdo de esta lista y diésemos vuelta sus tarjetas, obtendríamos el primer subconjunto numerado de la lista de Gardner; del mismo modo, el segundo subconjunto numerado sería idéntico —desde la segunda posición— al construido aquí por la segunda diagonal invertida, y así con el resto.
   Si se exige que los subconjuntos construidos desde la segunda diagonal de esta lista sean explícitamente idénticos, en todas sus posiciones, a los subconjuntos del arreglo original, bastará con trazar en éste diagonales dobles o compuestas. Desde la segunda, una diagonal con orientación SO-NE se continuará en otra con orientación NO-SE.
   Si existe, la otra diagonal simple del cuadrado —la primera es la diagonal de Cantor— se traza en el infinito y cruza el arreglo de SO a NE. ¿Y se cruza con la de Cantor, que viene de NO a SE? Sí, pero en el infinito, como las paralelas. Es la X más problemática del mundo mundial.


   La nueva lista de subconjuntos ausentes ya no exhibirá lugares vacíos ni necesitará una convención especial para su relleno; se verá así:


   Si sobre esta lista trazásemos ahora las diagonales dobles que hicimos en la primera, no obtendríamos una tercera lista de subconjuntos de N, sino de nuevo la primera. Un dispositivo es el inverso del otro respecto de este método diagonal; en ambos, por lo tanto, hay igual cantidad de hileras de tarjetas (o miembros del conjunto P(N), o sea, subconjuntos de N): ℵo hileras (o miembros de P(N) o subconjuntos de N). Y el mismo número de hileras habrá en la unión de las dos listas: si a la primera la llamamos A y a la segunda B, los subconjuntos listados de ambas pueden ser puestos en una correspondencia biunívoca con los números naturales (o distribuidos en una progresión, si consideramos solamente la fila inferior; y no hay progresión que no sea contable):


   Así, si los subconjuntos de la lista B fuesen todos los que no están en la lista originaria, el total de subconjuntos de N, entre numerados y no numerados, no sería 2o, sino ℵo, ya que ℵo + ℵo = ℵo. Debe haber, en consecuencia, 2o subconjuntos no incluidos en el dispositivo infinito de Gardner.
   Una vez establecido esto, el mismo argumento se puede volver a utilizar para probar que también hay 2o subconjuntos fuera de la lista B además de la A: siendo que hay ℵo subconjuntos generados por diagonales, si hubiera ℵo subconjuntos no generables por el método diagonal, no habría 2o subconjuntos ausentes de la lista A, sino otra vez ℵo + ℵo = ℵo; y si este fuera el caso, nuevamente nos encontraríamos con que el total de subconjuntos de N, entre ausentes (ℵo) y presentes (ℵo), no sería 2o, sino ℵo.
Resumiendo: hay 2o subconjuntos que no están en la lista de Gardner, que tiene ℵo subconjuntos numerados. De ese total ausente, una parte es numerable (hay ℵo subconjuntos que podemos construir con el método diagonal) y otra es no numerable (hay 2o subconjuntos que no podemos construir con el método diagonal). La fórmula que expresa esto puede escribirse así:
o + (ℵo + 2o) = ℵo + 2o = 2o.
   Recordemos que un conjunto es infinito si puede ponerse en relación 1 a 1 con un subconjunto propio. Así como N y su subconjunto de los naturales impares son equipotentes (ambos tienen ℵo miembros), también lo son P(N) y una parte suya (por ejemplo, aquella cuyos miembros son los 2o subconjuntos de N que no están en la lista de Gardner). Como se espera de una definición, la de conjunto infinito abarca la infinita jerarquía de tamaños infinitos.
   Recordemos también que un conjunto es menor que otro si no puede ponerse en relación 1 a 1 con él y sí con alguno de sus subconjuntos propios. El doble requisito se cumple: N no puede ponerse en correspondencia 1 a 1 con P(N), pero sí con una parte de P(N) (aquella cuyos miembros son los ℵo subconjuntos de N que hay en la lista de Gardner).