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viernes, 31 de julio de 2020

Borges, Cantor y el infinito 003 (3.0.0)


Le hice varios agregados al ensayo. Ahora se ve así:



Disclaimer: este ensayo presupone conocimientos sobre números cardinales transfinitos, de los que hablé en los capítulos 1 y 2 del tríptico “Los transfinitos”.

1.

   Para el personaje y narrador Borges, un escritor que quiere poner en palabras el Aleph que acaba de contar que vio, «el problema central es irresoluble: la enumeración, siquiera parcial, de un conjunto infinito». Igual la encara y, por supuesto, la abandona luego de un número finito de términos, que actúa de enorme (no llegan a 55, incluyendo «el inconcebible universo» y contando como uno, por ejemplo, los «convexos desiertos ecuatoriales y cada uno de sus granos de arena»). Si pudiera completarla, el conjunto de imágenes de «todos los lugares del orbe» sería enumerablemente infinito (o sea, tan grande como el de los números naturales, que pueden acompañar cualquier enumeración infinita).
   Del mismo rango son todos los otros infinitos que inventa o comenta el autor Borges:
    • los circulares (el eterno retorno y su avatar tipográfico, la biblioteca periódica de Babel; la noche en que las mil y una se convierten en un ciclo);
    • los ramificados (el jardín de bifurcaciones; la versión demiurga o divina de la novela regresiva de Herbert Quain April March, con «infinitas historias, infinitamente ramificadas»);
    • los lineales que suman (la eternidad de los trogloditas de “El inmortal”; la perpetuidad del infierno);
    • los lineales que dividen (el libro de arena; el «laberinto griego que es una línea única, recta», que le pide Lönnrot a Scharlach para la próxima vez que lo mate); etcétera.
   Pero con los infinitos multifocales del Aleph de Daneri y la Rueda que Tzinacán ve en “La escritura del dios”, podríamos salirnos del rango de lo enumerable. Si tomamos al pie de la letra eso de que «todos los lugares del orbe» son «vistos desde todos los ángulos» o «desde todos los puntos del universo», si asumimos que «cada cosa (la luna del espejo, digamos) era infinitas cosas», se agrega una cantidad de imágenes superior a la de números naturales, que no alcanzan para contarlas.
   En esta interpretación con aritmética transfinita, lo que hace no enumerablemente infinito al conjunto de las imágenes provistas por el Aleph es que resulta de multiplicar «cada cosa» por los 2o miradores, «los puntos del universo»: 1 × 2o = 2o imágenes.
   Si en vez de 1 cosa querés considerar todas, o son muchas pero finitas o son infinitas pero enumerables (o sea, ℵo); en cualquier caso, el resultado (el número de imágenes aléficas) es el mismo:
    n × 2o = 2o;
    o × 2o = 2o.
   Y seguiría siendo el mismo si hubiera 2o cosas vistas desde 2o puntos:
    2o × 2o = 2o.

2.

   Después de narrar los hechos, una Posdata del 1º de marzo de 1943 los actualiza y los comenta. A partir de ahí, al Aleph le sucede lo que sucede en el Aleph: es visto desde distintos puntos (no todos, sólo una muestra). Algunos se refieren al nombre elegido por Daneri, la letra hebrea ℵ:
...también se dijo que tiene la forma de un hombre que señala el cielo y la tierra, para indicar que el mundo inferior es el espejo y es el mapa del superior; para la Mengenlehre, es el símbolo de los números transfinitos, en los que el todo no es mayor que alguna de las partes.
   El personaje Borges acá (y el autor Borges en toda su obra) nos muestra hasta dónde entendió o aceptó —en todo caso, hasta dónde manejó— los números transfinitos y la Teoría de Conjuntos («la Mengenlehre», que en el cuento traducido al inglés se convierte en la «Cantor's Mengenlehre»): hasta ℵo y sus equipotencias contraintuitivas entre el todo y una parte infinita suya (deberían ser diferentes —creemos— y son iguales —sabemos—).
   En “Abenjacán el Bojarí, muerto en su laberinto”, cuando el matemático Unwin le dice a su amigo poeta: «opté por olvidar tus absurdidades y pensar en algo sensato», Dunraven lo chicanea: «En la teoría de los conjuntos, digamos».
   Las dos referencias a la letra que da nombre al Aleph apuntan a lo mismo. La primera evoca una autorrepresentación por la que Borges se interesa en “Magias parciales del Quijote”: la tierra es el espejo y es el mapa del cielo como el mapa de Inglaterra que imagina Royce, hecho sobre una porción de su suelo, refleja todo el territorio, incluyendo a esa porción y por lo tanto al mapa mismo.
   Para la segunda referencia, en “La doctrina de los ciclos” Borges le atribuye el argumento de esa equipotencia a Cantor; en “La perpetua carrera de Aquiles y la tortuga”, a Russell:

La operación de contar no es otra cosa para él [Cantor] que la de equiparar series.

Para Russell, la operación de contar es (intrínsecamente) la de equiparar dos series.
Por ejemplo, si los primogénitos de todas las casas de Egipto fueron matados por el Ángel, salvo los que habitaban en casas que tenía en la puerta una señal roja, es evidente que tantos se salvaron como señales rojas había, sin que esto importe enumerar cuántos fueron. Aquí es indefinida la cantidad; otras agrupaciones hay en que es infinita. El conjunto de los números naturales es infinito, pero es posible demostrar que son tantos los impares como los pares.
    Al 1 corresponde el 2
    Al 3 corresponde el 4
    Al 5 corresponde el 6, etcétera.
La prueba es tan irrefutable como baladí, pero no difiere de la siguiente de que hay tantos múltiplos de tres mil dieciocho como números hay —sin excluir de éstos al tres mil dieciocho y sus múltiplos.
    Al 1 corresponde el 3.018
    Al 2 corresponde el 6.036
    Al 3 corresponde el 9.054
    Al 4 corresponde el 12.072, etcétera.
Cabe afirmar lo mismo [Lo mismo puede afirmarse] de sus potencias, por más que éstas se vayan rarificando a medida que progresemos.
    Al 1 corresponde el 3.018
    Al 2 corresponde el 3.0182, el 9.108.324
    Al 3 ..., etcétera.
   Siglos antes, con las potencias de 2 y todos los enteros, Galileo interpretaba el mismo resultado de otra manera: esa equipotencia absurda entre la parte y el todo venía a demostrar que las nociones de igual que, mayor que y menor que no son aplicables a conjuntos infinitos, porque de hacerlo se desembocaría en un sinsentido.
   El primero que da vuelta esa interpretación (de sinsentido a rasgo definitorio) es también el primero que usa el término Menge (conjunto): Bernard Bolzano. Un alumno suyo publica en 1854, tres años después de su muerte, Paradojas del infinito, donde Bolzano da la definición de conjunto infinito que después retomarán Dedekind y Cantor, y que Russell divulgará. Borges (en ambos ensayos) la glosa así:
Una genial aceptación de estos hechos ha inspirado la fórmula de que una colección infinita —verbigracia, la serie de los números naturales— es una colección cuyos miembros pueden desdoblarse a su vez en series infinitas.
   En “La doctrina de los ciclos” agrega a continuación un paréntesis con la definición canónica:
(Mejor, para eludir toda ambigüedad: conjunto infinito es aquel conjunto que puede equivaler a uno de sus conjuntos parciales.)

3.

   Borges no muestra en ningún lugar de su obra haber llegado a la idea de un conjunto infinito mayor que otro conjunto infinito, que es contraintuitiva en el polo opuesto, en la no equipotencia (deberían ser iguales —creemos— y son diferentes —sabemos—). Y no creo que de haberla conocido y comprendido se hubiera privado de escribir sobre esa diferencia entre infinitos que parecían iguales tanto o más de lo que escribió sobre la equipotencia entre infinitos que parecían diferentes.
   Pero la cosa es más complicada. Por un lado, Borges prologó Matemáticas e imaginación, de Edward Kasner y James Newman. En el capítulo II, “Más allá del googol”, se exponen ambos golpes contraintuitivos del infinito matemático; si leyó y entendió el segundo, se llevó el secreto a la tumba. Lo mismo vale para el capítulo 8, “Números cardinales transfinitos”, de Introducción a la filosofía matemática, de Bertrand Russell, libro que Borges referencia en los dos ensayos que tiene en Discusión sobre la carrera de Aquiles y la tortuga.
   Por otro lado, Borges sí menciona conjuntos que tienen 2o elementos. De hecho, además de usar el conjunto de números naturales y subconjuntos suyos, ilustra la equipotencia transfinita todo-parte con el conjunto de puntos que hay en el universo y en cualquier porción suya; escribe en “La perpetua carrera de Aquiles y la tortuga”:
La parte, en esas elevadas latitudes de la numeración, no es menos copiosa que el todo: la cantidad precisa de puntos que hay en el universo es la que hay en un metro de universo, o en un decímetro, o en la más honda trayectoria estelar.
   Pero Borges no parece distinguir estos conjuntos de 2o puntos (misma cantidad de números reales y de selecciones posibles de números naturales) de otros conjuntos también infinitos pero inferiores. En “La doctrina de los ciclos” iguala uno denso (el de las ℵo fracciones que hay entre otras dos) con uno continuo (el de los 2o puntos que hay entre otros dos):
¿Qué fracción enumeraremos después de 1/2? No 51/100 porque más cerca está 201/400; no 201/400 porque más cerca... Igual sucede con los puntos, según Georg Cantor. Podemos siempre intercalar otros más, en número infinito.
   Es cierto que entre dos fracciones hay infinitas fracciones y que entre dos puntos hay infinitos puntos, pero este infinito es mayor que aquel. Borges no los iguala expresa sino tácitamente: si no agrega que esas infinitudes no miden igual, deja que se entienda que sí.
   ¿Es lo que cree? ¿Es algo que da por cierto? ¿Algo que no cuestiona? ¿Algo que ni siquiera se ha planteado? ¿Por qué no lo dice? Creo que es más probable que no lo diga porque lo desconoce que porque lo conoce y lo calla. No creo que silenciara algo así: es un freak conceptual de los que le gustan, con el sabor paradojal de ser «absurdidades» establecidas por un rigor racional. (En otro ensayo menciono 5 ejemplos de exégesis borgeanas desfreakeadoras).
   Por lo que fuere, Borges se maneja (como se manejaría) con la convicción, lúcida o ciega, de que el infinito es 1 (uno), incluso si es el tamaño (máximo) que distintos conjuntos pueden tener (entre ellos, una parte infinita y su todo). En cambio, un infinito mayor que otro ya son 2 (dos) infinitos: ya hay una jerarquía de tamaños más allá de los finitos, tamaños cuyos cardinales ℵo, ℵ1, ℵ2... son tan reales o irreales como los cardinales 0, 1, 2...

jueves, 30 de julio de 2020

Borges, Cantor y el infinito 002 (2.0.0)



Le hice varios cambios al ensayo, entre agregados, reubicaciones y supresiones. En comparación con la versión 1.0.0, ahora se ve así:



Disclaimer: este ensayo presupone conocimientos sobre números cardinales transfinitos, de los que hablé en los capítulos 1 y 2 del tríptico “Los transfinitos”.

1.

   Para el personaje y narrador Borges, un escritor que quiere poner en palabras el Aleph que acaba de ver, «el problema central es irresoluble: la enumeración, siquiera parcial, de un conjunto infinito». Igual la encara y, por supuesto, la abandona luego de un número finito de términos, que actúa de enorme (no llegan a 55, incluyendo «el inconcebible universo» y contando como uno, por ejemplo, los «convexos desiertos ecuatoriales y cada uno de sus granos de arena»).
   Si pudiera completarla, el conjunto de imágenes de «todos los lugares del orbe» sería enumerablemente infinito (o sea, tan grande como el de los números naturales, que acompaña a esa enumeración).
   Pero si tomamos al pie de la letra lo de «vistos desde todos los ángulos» o «desde todos los puntos del universo», si asumimos que «cada cosa (la luna del espejo, digamos) era infinitas cosas», se agrega una cantidad de imágenes superior a la de números naturales y el conjunto se vuelve no enumerablemente infinito.
   No hace falta el universo: el conjunto de puntos de una línea, por corta que sea, ya es igual de grande que el conjunto de números reales, que es igual de grande que el conjunto de selecciones posibles de números naturales, que son tres conjuntos mayores que el de números naturales: 2o (aka c) > ℵo.
   Entonces: en esta interpretación con aritmética transfinita, lo que hace no enumerablemente infinito al conjunto de las imágenes provistas por el Aleph es que resulta de multiplicar «cada cosa» por los 2o miradores, «los puntos del universo»: 1 × 2o = 2o imágenes.
   Si en vez de 1 cosa querés considerar todas, o son muchas pero finitas o son infinitas pero enumerables (o sea, ℵo); en cualquier caso, el resultado (el número de imágenes aléficas) es el mismo:
    n × 2o = 2o;
    o × 2o = 2o.
   Y seguiría siendo el mismo si hubiera 2o cosas vistas desde 2o puntos:
    2o × 2o = 2o.

2.

   Después de narrar los hechos, una Posdata del 1º de marzo de 1943 los actualiza y los comenta. A partir de ahí, al Aleph le sucede lo que sucede en el Aleph: es visto desde distintos puntos (no todos, sólo una muestra). Algunos se refieren al nombre elegido por Daneri, la letra ℵ:
«...también se dijo que tiene la forma de un hombre que señala el cielo y la tierra, para indicar que el mundo inferior es el espejo y es el mapa del superior; para la Mengenlehre, es el símbolo de los números transfinitos, en los que el todo no es mayor que alguna de las partes.»
   El personaje Borges acá (y el autor Borges en toda su obra) nos muestra hasta dónde entendió o aceptó —en todo caso, hasta dónde manejó— los números transfinitos y la Teoría de Conjuntos («la Mengenlehre», que en el cuento traducido al inglés se convierte en la «Cantor's Mengenlehre»): hasta ℵo y sus equipotencias contraintuitivas entre el todo y una parte infinita suya (deberían ser diferentes —creemos— y son iguales —sabemos—).
   Las dos referencias a la letra que da nombre al Aleph apuntan a lo mismo. La primera evoca una autorrepresentación por la que Borges se interesa en “Magias parciales del Quijote”: la tierra es el espejo y es el mapa del cielo como el mapa de Inglaterra que imagina Royce, hecho sobre una porción de su suelo, refleja todo el territorio, incluyendo a esa porción y por lo tanto al mismo mapa.
   Para la segunda referencia, en “La doctrina de los ciclos” Borges le atribuye el argumento de esa equipotencia a Cantor; en “La perpetua carrera de Aquiles y la tortuga”, a Russell:

La operación de contar no es otra cosa para él [Cantor] que la de equiparar series.

Para Russell, la operación de contar es (intrínsecamente) la de equiparar dos series.
Por ejemplo, si los primogénitos de todas las casas de Egipto fueron matados por el Ángel, salvo los que habitaban en casas que tenía en la puerta una señal roja, es evidente que tantos se salvaron como señales rojas había, sin que esto importe enumerar cuántos fueron. Aquí es indefinida la cantidad; otras agrupaciones hay en que es infinita. El conjunto de los números naturales es infinito, pero es posible demostrar que son tantos los impares como los pares.

Al 1 corresponde el 2
Al 3 corresponde el 4
Al 5 corresponde el 6, etcétera.

La prueba es tan irrefutable como baladí, pero no difiere de la siguiente de que hay tantos múltiplos de tres mil dieciocho como números hay -sin excluir de éstos al tres mil dieciocho y sus múltiplos.

Al 1 corresponde el 3018
Al 2 corresponde el 6036
Al 3 corresponde el 9054
Al 4 corresponde el 12072, etcétera.

Cabe afirmar lo mismo de sus potencias, por más que éstas se vayan ratificando a medida que progresemos.

Al 1 corresponde el 3018
Al 2 corresponde el 30182
El 9.108.324 al 3, etcétera.

   Siglos antes, con las potencias de 2 y todos los enteros, Galileo interpretaba el mismo resultado de otra manera: esa equipotencia absurda entre la parte y el todo venía a demostrar que las nociones de igual que, mayor que y menor que no eran aplicables a conjuntos infinitos, porque de hacerlo se desembocaría en un sinsentido.
   El primero que da vuelta esa interpretación (de sinsentido a rasgo definitorio) es también el primero que usa el término Menge (conjunto): Bernard Bolzano. Un alumno suyo publica en 1854, tres años después de su muerte, Paradojas del infinito, donde Bolzano da la definición de conjunto infinito que después retomarán Dedekind y Cantor, y que Russell divulgará. Borges (en ambos ensayos) la glosa así:
Una genial aceptación de estos hechos ha inspirado la fórmula de que una colección infinita —verbigracia, la serie de los números naturales— es una colección cuyos miembros pueden desdoblarse a su vez en series infinitas.
   En “La doctrina de los ciclos” agrega a continuación un paréntesis con la definición canónica:
(Mejor, para eludir toda ambigüedad: conjunto infinito es aquel conjunto que puede equivaler a uno de sus conjuntos parciales.)

3.

   Borges no muestra en ningún lugar de su obra haber llegado a la idea de un conjunto infinito mayor que otro conjunto infinito, que es contraintuitiva en el polo opuesto, en la no equipotencia (deberían ser iguales —creemos— y son diferentes —sabemos—). Y no creo que de haberla conocido y comprendido se hubiera privado de escribir sobre esa diferencia entre infinitos que parecían iguales tanto o más de lo que escribió sobre la equipotencia entre infinitos que parecían diferentes.
   Pero la cosa es más complicada. Por un lado, Borges prologó Matemáticas e imaginación, de Edward Kasner y James Newman. En el capítulo II, “Más allá del googol”, se exponen ambos golpes contraintuitivos del infinito matemático; si leyó y entendió el segundo, se llevó el secreto a la tumba. Lo mismo vale para el capítulo 8, “Números cardinales transfinitos”, de Introducción a la filosofía matemática, de Bertrand Russell.
   Por otro lado, Borges sí menciona conjuntos que tienen 2o elementos. De hecho, además del conjunto de naturales y subconjuntos suyos, ilustra la equipotencia todo-parte con el conjunto de puntos que hay en cualquier porción de espacio; escribe en “La perpetua carrera de Aquiles y la tortuga”:
La parte, en esas elevadas latitudes de la numeración, no es menos copiosa que el todo: la cantidad precisa de puntos que hay en el universo es la que hay en un metro de universo, o en un decímetro, o en la más honda trayectoria estelar.
   Pero Borges no parece distinguir estos conjuntos de 2o miembros de conjuntos infinitos inferiores. En “La doctrina de los ciclos” iguala un conjunto denso (el de las ℵo fracciones que hay entre otras dos) con uno continuo (el de los 2o puntos que hay entre otros dos):
«¿Qué fracción enumeraremos después de 1/2? No 51/100 porque más cerca está 201/400; no 201/400 porque más cerca... Igual sucede con los puntos, según Georg Cantor. Podemos siempre intercalar otros más, en número infinito.»
   Ok, no los iguala expresa sino tácitamente. Porque si no agrega que esas infinitudes no miden igual, deja que se entienda que sí. ¿Es lo que cree? ¿Es algo que da por cierto? ¿Algo que no cuestiona? ¿Algo que ni siquiera se ha planteado? ¿Por qué no lo dice? Creo que es más probable que no lo diga porque lo desconoce que porque lo conoce y lo calla. Él no se guardaría algo así.
   Por lo que fuere, Borges se maneja (como se manejaría) con la convicción, lúcida o ciega, de que el infinito es 1 (uno), incluso si es el tamaño (máximo) que distintos conjuntos pueden tener (entre ellos, una parte infinita y su todo). En cambio, un infinito mayor que otro ya son 2 (dos) infinitos: ya hay una jerarquía de tamaños más allá de los finitos, tamaños cuyos cardinales ℵo, ℵ1, ℵ2... son tan reales o irreales como los cardinales 0, 1, 2...

miércoles, 29 de julio de 2020

Borges, Cantor y el infinito 001 (1.0.0)


Hasta recién (y más o menos desde que lo publiqué) el ensayo antes decía esto:




1.

   Para el personaje y narrador Borges, un escritor que quiere poner en palabras el Aleph que acaba de ver, «el problema central es irresoluble: la enumeración, siquiera parcial, de un conjunto infinito». Igual la encara y, por supuesto, la abandona luego de un número finito de términos, que actúa de enorme (no llegan a 55, incluyendo «el inconcebible universo» y contando como uno, por ejemplo, los «convexos desiertos ecuatoriales y cada uno de sus granos de arena»).
   Si pudiera completarla, el conjunto de imágenes de «todos los lugares del orbe» sería enumerablemente infinito (o sea, tan grande como el de los números naturales, que acompaña a esa enumeración).
   Pero si tomamos al pie de la letra lo de «vistos desde todos los ángulos» o «desde todos los puntos del universo», si asumimos que «cada cosa (la luna del espejo, digamos) era infinitas cosas», se agrega una cantidad de imágenes superior a la de números naturales y el conjunto se vuelve no enumerablemente infinito.
   No hace falta el universo: el conjunto de puntos de una línea, por corta que sea, ya es igual de grande que el conjunto de números reales, que es igual de grande que el conjunto de selecciones posibles de números naturales, que son tres conjuntos mayores que el de números naturales: 2o (aka c) > ℵo.
   Entonces: en esta interpretación con aritmética transfinita, lo que hace no enumerablemente infinito al conjunto de las imágenes provistas por el Aleph es que resulta de multiplicar «cada cosa» por los 2o miradores, «los puntos del universo»: 1 × 2o = 2o imágenes.
   Si en vez de 1 cosa querés considerar todas, ya sean miles de trillones, ℵo o 2o, el resultado (el tamaño del conjunto Aleph) es el mismo:
n × 2o = 2o;
o × 2o = 2o;
2o × 2o = 2o.

2.

   Sobre el final del cuento, el narrador habla del nombre elegido por Daneri, la letra ℵ:
«...también se dijo que tiene la forma de un hombre que señala el cielo y la tierra, para indicar que el mundo inferior es el espejo y es el mapa del superior; para la Mengenlehre, es el símbolo de los números transfinitos, en los que el todo no es mayor que alguna de las partes.»
   La explicación de cómo una parte puede ser tan grande como el todo Borges la desarrolla    El personaje Borges acá (y el autor Borges en el resto de su obra) nos muestra hasta dónde entendió o aceptó —en todo caso, hasta dónde manejó— los números transfinitos y la Teoría de Conjuntos («la Mengenlehre», que en el cuento traducido al inglés se convierte en la «Cantor's Mengenlehre»): hasta ℵo y sus equipotencias contraintuitivas entre el todo y una parte suya (deberían ser diferentes —creemos— y son iguales —sabemos—).
   Borges no muestra en ningún lugar de su obra haber llegado a la idea de un conjunto infinito mayor que otro conjunto infinito, que es contraintuitiva en el polo opuesto, en la no equipotencia (deberían ser iguales —creemos— y son diferentes —sabemos—). Y no creo que de haberla conocido y comprendido se hubiera privado de escribir sobre esa diferencia entre infinitos que parecían iguales tanto o más de lo que escribió sobre la equipotencia entre infinitos que parecían diferentes. O al menos 1 (un) ensayo, 1 (un) artículo, 1 (una) nota. O 1 (una) mención o referencia en algún lado.
   El problema, sospecho, es que un infinito mayor que otro son 2 (dos) infinitos y no es fácil librarse de la idea de que el infinito es 1 (uno), incluso si lo toleramos como tamaño de un conjunto (tamaño máximo, que distintas colecciones pueden tener). Se hace más abstracto, pierde su "espacialidad".
   Como sea, con esa restricción Borges participa de la creencia de que infinito sólo es un concepto («corruptor» o maravilloso), no un número, y en rigor varios (sí, infinitos), tan reales o irreales como el 1, el 2 o el 3, como nos dejó ver Cantor.



Ahora dice esto:





1.

   Para el personaje y narrador Borges, un escritor que quiere poner en palabras el Aleph que acaba de ver, «el problema central es irresoluble: la enumeración, siquiera parcial, de un conjunto infinito». Igual la encara y, por supuesto, la abandona luego de un número finito de términos, que actúa de enorme (no llegan a 55, incluyendo «el inconcebible universo» y contando como uno, por ejemplo, los «convexos desiertos ecuatoriales y cada uno de sus granos de arena»).
   Si pudiera completarla, el conjunto de imágenes de «todos los lugares del orbe» sería enumerablemente infinito (o sea, tan grande como el de los números naturales, que acompaña a esa enumeración).
   Pero si tomamos al pie de la letra lo de «vistos desde todos los ángulos» o «desde todos los puntos del universo», si asumimos que «cada cosa (la luna del espejo, digamos) era infinitas cosas», se agrega una cantidad de imágenes superior a la de números naturales y el conjunto se vuelve no enumerablemente infinito.
   No hace falta el universo: el conjunto de puntos de una línea, por corta que sea, ya es igual de grande que el conjunto de números reales, que es igual de grande que el conjunto de selecciones posibles de números naturales, que son tres conjuntos mayores que el de números naturales: 2o (aka c) > ℵo.
   Entonces: en esta interpretación con aritmética transfinita, lo que hace no enumerablemente infinito al conjunto de las imágenes provistas por el Aleph es que resulta de multiplicar «cada cosa» por los 2o miradores, «los puntos del universo»: 1 × 2o = 2o imágenes.
   Si en vez de 1 cosa querés considerar todas, o son muchas pero finitas o son infinitas pero enumerables (o sea, ℵo); en cualquier caso, el resultado (el número de imágenes aléficas) es el mismo:
    n × 2o = 2o;
    o × 2o = 2o.
   Y seguiría siendo el mismo si hubiera 2o cosas vistas desde 2o puntos:
    2o × 2o = 2o.

2.

   Después de narrar los hechos, una Posdata del 1º de marzo de 1943 los actualiza y los comenta. A partir de ahí, al Aleph le sucede lo que sucede en el Aleph: es visto desde distintos puntos (no todos, sólo una muestra). Algunos se refieren al nombre elegido por Daneri, la letra ℵ:
«...también se dijo que tiene la forma de un hombre que señala el cielo y la tierra, para indicar que el mundo inferior es el espejo y es el mapa del superior; para la Mengenlehre, es el símbolo de los números transfinitos, en los que el todo no es mayor que alguna de las partes.»
   El personaje Borges acá (y el autor Borges en toda su obra) nos muestra hasta dónde entendió o aceptó —en todo caso, hasta dónde manejó— los números transfinitos y la Teoría de Conjuntos («la Mengenlehre», que en el cuento traducido al inglés se convierte en la «Cantor's Mengenlehre»): hasta ℵo y sus equipotencias contraintuitivas entre el todo y una parte suya (deberían ser diferentes —creemos— y son iguales —sabemos—).
   Borges no muestra en ningún lugar de su obra haber llegado a la idea de un conjunto infinito mayor que otro conjunto infinito, que es contraintuitiva en el polo opuesto, en la no equipotencia (deberían ser iguales —creemos— y son diferentes —sabemos—). Y no creo que de haberla conocido y comprendido se hubiera privado de escribir sobre esa diferencia entre infinitos que parecían iguales tanto o más de lo que escribió sobre la equipotencia entre infinitos que parecían diferentes. O al menos 1 (un) ensayo, 1 (un) artículo, 1 (una) nota. O 1 (una) mención o referencia en algún lado.

3.

   Pero la cosa es más complicada. Porque Borges sí menciona conjuntos que tienen 2o elementos, como el conjunto de puntos que hay en cualquier porción de espacio. Pero no los distingue de conjuntos infinitos inferiores, como el de fracciones que hay entre otras dos, que apenas son ℵo. Por ejemplo, en “La doctrina de los ciclos” iguala un conjunto denso (el de las fracciones) con uno continuo (el de los puntos):
«¿Qué fracción enumeraremos después de 1/2? No 51/100 porque más cerca está 201/400; no 201/400 porque más cerca... Igual sucede con los puntos, según Georg Cantor. Podemos siempre intercalar otros más, en número infinito.»
   Ok, no los iguala expresa sino tácitamente. Porque si no agrega que esas infinitudes no miden igual, deja que se entienda que sí. ¿Es lo que cree? ¿Es algo que da por cierto, o algo que no cuestiona, o algo que ni siquiera se ha planteado?. ¿Por qué Borges no lo dice? Creo que es más probable que no lo diga porque lo desconoce que porque lo conoce y lo calla. Borges no se callaría algo así.
   Por lo que fuere, actúa con la convicción, lúcida o ciega, de que, como tamaño, el infinito es uno, más allá de que midan eso conjuntos que dan una igualdad contraintuitiva. Típicamente, la igualdad de tamaño (o sea, la equipotencia) que hay entre una parte infinita y su todo. En “La doctrina de los ciclos”, Borges le atribuye el argumento a Cantor; en “La perpetua carrera de Aquiles y la tortuga”, a Russell:

La operación de contar no es otra cosa para él [Cantor] que la de equiparar series.

Para Russell, la operación de contar es (intrínsecamente) la de equiparar dos series.
Por ejemplo, si los primogénitos de todas las casas de Egipto fueron matados por el Ángel, salvo los que habitaban en casas que tenía en la puerta una señal roja, es evidente que tantos se salvaron como señales rojas había, sin que esto importe enumerar cuántos fueron. Aquí es indefinida la cantidad; otras agrupaciones hay en que es infinita. El conjunto de los números naturales es infinito, pero es posible demostrar que son tantos los impares como los pares.

Al 1 corresponde el 2
Al 3 corresponde el 4
Al 5 corresponde el 6, etcétera.

La prueba es tan irrefutable como baladí, pero no difiere de la siguiente de que hay tantos múltiplos de tres mil dieciocho como números hay -sin excluir de éstos al tres mil dieciocho y sus múltiplos.

Al 1 corresponde el 3018
Al 2 corresponde el 6036
Al 3 corresponde el 9054
Al 4 corresponde el 12072, etcétera.

Cabe afirmar lo mismo de sus potencias, por más que éstas se vayan ratificando a medida que progresemos.

Al 1 corresponde el 3018
Al 2 corresponde el 30182
El 9.108.324 al 3, etcétera.

   Siglos antes, con las potencias de 2 y todos los enteros, Galileo interpretaba el mismo resultado de otra manera: esa equipotencia absurda entre la parte y el todo venía a demostrar que las nociones de igual que, mayor que y menor que no eran aplicables a conjuntos infinitos, porque de hacerlo se desembocaría en un sinsentido.
   El primero que da vuelta esa interpretación (de sinsentido a rasgo definitorio) es también el primero que usa el término Menge (conjunto): Bernard Bolzano. Un alumno suyo publica en 1854, tres años después de su muerte, Paradojas del infinito, donde Bolzano da la definición de conjunto infinito que después retomarán Dedekind y Cantor, que Russell divulgará, y que Borges (en ambos ensayos) glosa así:
Una genial aceptación de estos hechos ha inspirado la fórmula de que una colección infinita —verbigracia, la serie de los números naturales— es una colección cuyos miembros pueden desdoblarse a su vez en series infinitas.
   En “La doctrina de los ciclos” Borges agrega a continuación un paréntesis con la definición canónica:
(Mejor, para eludir toda ambigüedad: conjunto infinito es aquel conjunto que puede equivaler a uno de sus conjuntos parciales.)

4.

   El problema, sospecho, es que un infinito mayor que otro son 2 (dos) infinitos y no es fácil librarse de la idea de que el infinito es 1 (uno), incluso si lo toleramos como tamaño de un conjunto (tamaño máximo, que distintas colecciones pueden tener). Se hace más abstracto, pierde su "espacialidad".
   Como sea, con esa restricción Borges participa de la creencia de que infinito sólo es un concepto («corruptor» o maravilloso), no un número, y en rigor varios (sí, infinitos), tan reales o irreales como el 1, el 2 o el 3, como nos dejó ver Cantor.