Borges, Cantor y el infinito 004 (4.0.0)

Varios cambios que terminaron siendo mayores en el conjunto del ensayo. Dudé entre ponerle a esta versión 3.1.0 o 4.0.0. Ahora el ensayo se ve así:

Disclaimer: este ensayo presupone conocimientos sobre números cardinales transfinitos, de los que hablé en los capítulos 1 y 2 del tríptico “Los transfinitos”.

1.

   Para el personaje y narrador Borges, un escritor que quiere poner en palabras el Aleph que acaba de contar que vio, «el problema central es irresoluble: la enumeración, siquiera parcial, de un conjunto infinito». Igual la encara y, por supuesto, la abandona luego de un número finito de términos, que actúa de enorme (no llegan a 55, incluyendo «el inconcebible universo» y contando como uno, por ejemplo, los «convexos desiertos ecuatoriales y cada uno de sus granos de arena»). Si pudiera completarla, el conjunto de imágenes de «todos los lugares del orbe» sería enumerablemente infinito (o sea, tan grande como el de los números naturales, que pueden acompañar cualquier enumeración infinita).
   Del mismo rango son todos los otros infinitos que inventa o comenta el autor Borges:

• los circulares (el eterno retorno y su avatar tipográfico, la biblioteca periódica de Babel; la noche en que las mil y una se convierten en un ciclo);
• los ramificados (el jardín de bifurcaciones; la versión demiurga o divina de la novela regresiva de Herbert Quain April March, con «infinitas historias, infinitamente ramificadas»);
• los lineales que suman (la eternidad de “El inmortal”; la perpetuidad del infierno);
• los lineales que dividen (el libro de arena; el «laberinto griego que es una línea única, recta», que le pide Lönnrot a Scharlach para la próxima vez que lo mate); etcétera.

   Pero con los infinitos multifocales del Aleph de Daneri y la Rueda que Tzinacán ve en “La escritura del dios”, podríamos salirnos del rango de lo enumerable. Si tomamos al pie de la letra eso de que «todos los lugares del orbe» son «vistos desde todos los ángulos» o «desde todos los puntos del universo», si asumimos que «cada cosa (la luna del espejo, digamos) era infinitas cosas», se agrega una cantidad de imágenes superior a la de números naturales, que no alcanzan para contarlas.
   En esta interpretación con aritmética transfinita, lo que hace no enumerablemente infinito al conjunto de las imágenes provistas por el Aleph es que resulta de multiplicar «cada cosa» por los 2^ℵ_o miradores, «los puntos del universo»: 1 × 2^ℵ_o = 2^ℵ_o imágenes.
   Si en vez de 1 cosa querés considerar todas, o son muchas pero finitas o son infinitas pero enumerables (o sea, ℵ_o); en cualquier caso, el resultado (el número de imágenes aléficas) es el mismo:

n × 2^ℵ_o = 2^ℵ_o;
ℵ_o × 2^ℵ_o = 2^ℵ_o.

   Y seguiría siendo el mismo si hubiera 2^ℵ_o cosas vistas desde 2^ℵ_o puntos:

2^ℵ_o × 2^ℵ_o = 2^ℵ_o.

2.

   Después de narrar los hechos, una Posdata del 1º de marzo de 1943 los actualiza y los comenta. A partir de ahí, al Aleph le sucede lo que sucede en el Aleph: es visto desde distintos puntos (no todos, sólo una muestra). Algunos se refieren al nombre elegido por Daneri, la letra hebrea ℵ:

...también se dijo que tiene la forma de un hombre que señala el cielo y la tierra, para indicar que el mundo inferior es el espejo y es el mapa del superior; para la Mengenlehre, es el símbolo de los números transfinitos, en los que el todo no es mayor que alguna de las partes.

   El personaje Borges acá (y el autor Borges en toda su obra) nos muestra hasta dónde entendió o aceptó —en todo caso, hasta dónde manejó— los números transfinitos y la Teoría de Conjuntos («la Mengenlehre», que en el cuento traducido al inglés se convierte en la «Cantor's Mengenlehre»): hasta ℵ_o y sus equipotencias contraintuitivas entre el todo y una parte infinita suya (deberían ser diferentes —creemos— y son iguales —sabemos—).

   En “Abenjacán el Bojarí, muerto en su laberinto”, cuando el matemático Unwin le dice a su amigo poeta: «opté por olvidar tus absurdidades y pensar en algo sensato», Dunraven lo chicanea: «En la teoría de los conjuntos, digamos».

   Las dos referencias a la letra que da nombre al Aleph apuntan a lo mismo. La primera evoca una autorrepresentación por la que Borges se interesa en “Magias parciales del Quijote”: la tierra es el espejo y es el mapa del cielo como el mapa de Inglaterra que imagina Royce, hecho sobre una porción de su suelo, refleja todo el territorio, incluyendo a esa porción y por lo tanto al mapa mismo.
   Para la segunda referencia, en “La doctrina de los ciclos” Borges le atribuye el argumento de esa equipotencia a Cantor; en “La perpetua carrera de Aquiles y la tortuga”, a Russell; en todo lo demás coinciden palabra a palabra, con pocas salvedades:

La operación de contar no es otra cosa para él [Cantor] que la de equiparar series.

Para Russell, la operación de contar es (intrínsecamente) la de equiparar dos series.

Por ejemplo, si los primogénitos de todas las casas de Egipto fueron matados por el Ángel, salvo los que habitaban en casas que tenía en la puerta una señal roja, es evidente que tantos se salvaron como señales rojas había, sin que esto importe enumerar cuántos fueron. Aquí es indefinida la cantidad; otras agrupaciones hay en que es infinita. El conjunto de los números naturales es infinito, pero es posible demostrar que son tantos los impares como los pares.

Al 1 corresponde el 2
Al 3 corresponde el 4
Al 5 corresponde el 6, etcétera.

La prueba es tan irrefutable como baladí, pero no difiere de la siguiente de que hay tantos múltiplos de tres mil dieciocho como números hay —sin excluir de éstos al tres mil dieciocho y sus múltiplos.

Al 1 corresponde el 3.018
Al 2 corresponde el 6.036
Al 3 corresponde el 9.054
Al 4 corresponde el 12.072, etcétera.

Cabe afirmar lo mismo de sus potencias, por más que éstas se vayan rarificando a medida que progresemos.

Al 1 corresponde el 3.018
Al 2 corresponde el 3.018², el 9.108.324
Al 3 ..., etcétera.

   Siglos antes, comparando las potencias de 2 y todos los enteros, Galileo interpretaba el mismo resultado de otra manera: esa equipotencia absurda entre la parte y el todo venía a demostrar que las nociones de igual que, mayor que y menor que no son aplicables a conjuntos infinitos, porque de hacerlo se desembocaría en ese sinsentido de partida.
   El primero que da vuelta esa interpretación (de sinsentido a rasgo definitorio) es también el primero que usa el término Menge (conjunto): Bernard Bolzano. Un alumno suyo publica en 1854, tres años después de su muerte, Paradojas del infinito, donde Bolzano da la definición de conjunto infinito que décadas después retomarán Dedekind y Cantor, y que Russell divulgará. Borges (en ambos ensayos) la glosa así:

Una genial aceptación de estos hechos ha inspirado la fórmula de que una colección infinita —verbigracia, la serie de los números naturales— es una colección cuyos miembros pueden desdoblarse a su vez en series infinitas.

   En “La doctrina de los ciclos” agrega a continuación un paréntesis con la definición canónica:

(Mejor, para eludir toda ambigüedad: conjunto infinito es aquel conjunto que puede equivaler a uno de sus conjuntos parciales.)

   Borges tiene un pie en un concepto matemático de infinito (más exactamente, en la teoría de conjuntos y sus números transfinitos) y otro pie en un concepto filosófico en el que el infinito no es un número con el que se pueda operar (y después de todo «los números no existen, [...] son meras ficciones lógicas»), sino «un concepto que es el corruptor y el desatinador de los otros» (¡como para no tenerle horror! —las dos citas son de “Avatares de la tortuga”).
   Más allá de con qué pie pisa más fuerte, mi punto es que Borges no maneja una parte del concepto cantoriano de infinito: justo la parte que rompe el argumento de que no es un número porque no hay más que 1 (una) magnitud infinita.
   Galileo pudo ver en la equipotencia todo-parte una demostración por el absurdo de la imposibilidad de que un conjunto infinito sea mayor, menor o igual que otro (o sea, de que les valga la ley de la tricotomía). Con su prueba diagonal, Cantor demuestra que sí puede y debe, y desbarata la conclusión que Galileo sacó de las irreprochables pruebas de equipotencia. La tricotomía también rige para colecciones infinitas.

3.

   Borges no muestra en ningún lugar de su obra haber llegado a la idea de un conjunto infinito mayor que otro conjunto infinito, que es contraintuitiva en el polo opuesto de la igualdad todo-parte, en la no equipotencia (deberían ser iguales —creemos— y son diferentes —sabemos—). Y no creo que de haberla conocido y comprendido se hubiera privado de escribir sobre esa diferencia entre infinitos que parecían iguales tanto o más de lo que escribió sobre la equipotencia entre infinitos que parecían diferentes.
   Pero la cosa es más complicada. Por un lado, Borges prologó Matemáticas e imaginación, de Edward Kasner y James Newman. En el capítulo II, “Más allá del googol”, se exponen ambos golpes contraintuitivos del infinito matemático; si leyó y entendió el segundo, se llevó el secreto a la tumba. Lo mismo vale para el capítulo 8, “Números cardinales transfinitos”, de Introducción a la filosofía matemática (Bertrand Russell), libro que Borges referencia en los dos ensayos que tiene en Discusión sobre la carrera de Aquiles y la tortuga.
   Por otro lado, Borges sí menciona conjuntos que tienen 2^ℵ_o elementos. Hace lo mismo que Galileo (Salviati mediante): además de usar el conjunto de números naturales y subconjuntos suyos, ilustra la equipotencia transfinita todo-parte con el conjunto de puntos que hay en todo el universo y los que hay en cualquier porción suya. Escribe en “La perpetua carrera de Aquiles y la tortuga”:

La parte, en esas elevadas latitudes de la numeración, no es menos copiosa que el todo: la cantidad precisa de puntos que hay en el universo es la que hay en un metro de universo, o en un decímetro, o en la más honda trayectoria estelar.

   Pero Borges, al igual que Galileo, no distingue estos conjuntos de 2^ℵ_o puntos de otros conjuntos también infinitos pero inferiores. En “La doctrina de los ciclos” iguala uno denso (el de las ℵ_o fracciones que hay entre otras dos) con uno continuo (el de los 2^ℵ_o puntos que hay entre otros dos):

¿Qué fracción enumeraremos después de 1/2? No 51/100 porque más cerca está 201/400; no 201/400 porque más cerca... Igual sucede con los puntos, según Georg Cantor. Podemos siempre intercalar otros más, en número infinito.

   Es cierto que entre dos fracciones hay infinitas fracciones y que entre dos puntos hay infinitos puntos, pero este infinito es mayor que aquel. Y también es cierto que Borges no los iguala expresa sino tácitamente: si no agrega que esas infinitudes no miden igual, deja que se entienda que sí.
   ¿Es lo que cree? ¿Es algo que da por cierto? ¿Algo que no cuestiona? ¿Algo que ni siquiera se ha planteado? Creo que es más probable que no lo mencione porque lo desconoce que porque lo conoce y lo calla. No creo que silenciara algo así: es un freak conceptual de los que le gustan, que tienen el sabor paradojal de ser «absurdidades» establecidas por un rigor racional. (En otro ensayo menciono 5 ejemplos de exégesis borgeanas desfreakeadoras).
   Por lo que fuere, Borges se maneja (como se manejaría) con la convicción, lúcida o ciega, de que el infinito es 1 (uno), incluso si es el tamaño (máximo) que distintos conjuntos pueden tener (entre ellos, una parte infinita y su todo). En cambio, un infinito mayor que otro ya son 2 (dos) infinitos: ya hay una jerarquía de tamaños más allá de los finitos, tamaños cuyos números cardinales ℵ_o, ℵ₁, ℵ₂... son tan reales o irreales como los cardinales 0, 1, 2...
   Al decir del hotelero David Hilbert, esa jerarquía infinita de tamaños transfinitos es el paraíso que Cantor creó para nosotros y del que nadie nos podrá sacar. Salvo que no hayamos entrado, aun si llegamos a la entrada. Como Galileo, Borges desconoció esa exuberancia; en su lugar vio 1 (una) ℵ, insuficiente para experimentar el giro cantoriano.