Hice muchos cambios en el ensayo, tanto de agregados como de reubicaciones y de cortes de sección (pasaron de 3 a 6). Ahora se ve así:
1.
Para el personaje y narrador Borges, un escritor que quiere poner en palabras el Aleph que acaba de contar que vio, «el problema central es irresoluble: la enumeración, siquiera parcial, de un conjunto infinito». Igual la encara y, por supuesto, la abandona luego de un número finito de términos, que actúa de enorme (no llegan a 55, incluyendo «el inconcebible universo» y contando como uno, por ejemplo, los «convexos desiertos ecuatoriales y cada uno de sus granos de arena»). Si pudiera completarla, el conjunto de imágenes de «todos los lugares del orbe» sería enumerablemente infinito (o sea, tan grande como el de los números naturales, que pueden acompañar cualquier enumeración infinita).
Del mismo rango son los otros infinitos que inventa o comenta el autor Borges en toda su obra. Y lo afirmo incluso sabiendo que puede que no estén todos en esta lista; afirmo que si dejé alguno afuera, es un infinito enumerable:
En esta interpretación con aritmética transfinita, lo que hace no enumerablemente infinito al conjunto de las imágenes provistas por el Aleph es que resulta de multiplicar «cada cosa» por los 2ℵo miradores, «los puntos del universo»: 1 × 2ℵo = 2ℵo imágenes.
Si en vez de 1 cosa querés considerar todas, o son muchas pero finitas o son infinitas pero enumerables (o sea, ℵo); en cualquier caso, el resultado (el número de imágenes aléficas) es el mismo:
2.
Después de narrar los hechos, una Posdata del 1º de marzo de 1943 los actualiza y los comenta. A partir de ahí, al Aleph le sucede lo que sucede en el Aleph: es visto desde distintos puntos (no todos, sólo una muestra). Algunos se refieren al nombre elegido por Daneri, la letra hebrea ℵ:
Para la segunda referencia, en “La doctrina de los ciclos” Borges le atribuye el argumento de esa equipotencia a Cantor; en “La perpetua carrera de Aquiles y la tortuga”, a Russell; en todo lo demás coinciden palabra a palabra, con pocas salvedades:
3.
Siglos antes, comparando las potencias de 2 y todos los enteros, Galileo interpretaba el mismo resultado de otra manera: esa equipotencia absurda entre la parte y el todo venía a demostrar que las nociones de igual que, mayor que y menor que no son aplicables a conjuntos infinitos, porque de hacerlo se desembocaría en ese sinsentido de partida (no parece muy virtuoso el círculo).
El primero que da vuelta esa interpretación (de sinsentido a rasgo definitorio) es también el primero que usa el término Menge (conjunto): Bernard Bolzano. Un alumno suyo publica en 1854, tres años después de su muerte, Paradojas del infinito, donde Bolzano da la definición de conjunto infinito que décadas después retomarán Dedekind y Cantor, y que Russell divulgará. Borges (en ambos ensayos) la glosa así:
Más allá de con qué pie pisa más fuerte, mi punto es que Borges no maneja una parte del concepto cantoriano de infinito: justo la parte que escapa del argumento finitista de que no es un número porque no hay más que 1 (una) magnitud así (en una serie no hay 2 (dos) o más maneras de no tener un último término: todas son igualmente infinitas, se razona).
4.
Borges no muestra en ningún lugar de su obra haber llegado a la idea de un conjunto infinito mayor que otro conjunto infinito, que es contraintuitiva en el polo opuesto de la igualdad todo-parte, en la no equipotencia (deberían ser iguales —creemos— y son diferentes —sabemos—). Y no creo que de haberla conocido y comprendido se hubiera privado de escribir sobre esa diferencia entre infinitos que parecían iguales tanto o más de lo que escribió sobre la equipotencia entre infinitos que parecían diferentes.
Pero la cosa es más complicada. Por un lado, en el capítulo II (“Más allá del googol”) de Matemáticas e imaginación se exponen ambos golpes contraintuitivos del infinito matemático; si Borges leyó y entendió el segundo, se llevó el secreto a la tumba. Lo mismo vale para el capítulo 8, “Números cardinales transfinitos”, de Introducción a la filosofía matemática (Bertrand Russell), libro que Borges referencia en los dos ensayos que tiene en Discusión sobre la carrera de Aquiles y la tortuga.
Por otro lado, Borges sí menciona conjuntos que tienen 2ℵo elementos. Hace lo mismo que Galileo (Salviati mediante): además de usar el conjunto de números naturales y subconjuntos suyos, ilustra la equipotencia transfinita todo-parte con el conjunto de puntos que hay en todo el universo y los que hay en cualquier porción suya. Escribe en “La perpetua carrera de Aquiles y la tortuga”:
¿Es lo que cree? ¿Es algo que da por sentado? ¿Es algo que no cuestiona, o que ni siquiera ha llegado a plantearse? Creo que es más probable que no lo mencione porque lo desconoce que porque lo conoce y lo calla. No creo que silenciara algo así: es un freak conceptual de los que le gustan, que tienen el sabor paradojal de ser «absurdidades» establecidas por un rigor racional.
5.
Un rigor así deshace las «absurdidades» de Dunraven y al menos otras cinco. Pero a la equipotencia transfinita todo-parte Borges no la deshace: la usa para deshacer el eterno retorno (en “La doctrina de los ciclos”) y la persecución infinita (en “La perpetua carrera de Aquiles y la tortuga”). La primera demolición lo deja satisfecho:
Como buen vector del infinito, la perpetua carrera —vuelvo al otro ensayo— causa estragos acordes: atenta contra la realidad del espacio y del tiempo y hace que se alarmen de aventura por ella «la existencia en un cuerpo físico, la permanencia inmóvil, la fluencia de una tarde en la vida» (existir, permanecer, fluir: la pieza de un juego y sus dos movimientos). La culpa de que Zenón se porte así está clara:
6.
Por lo que fuere, Borges se maneja (como se manejaría) con la convicción, lúcida o ciega, de que el infinito es 1 (uno), incluso si es el tamaño (máximo) que distintos conjuntos pueden tener (entre ellos, una parte infinita y su todo). En cambio, un infinito mayor que otro ya son 2 (dos) infinitos: ya hay una jerarquía de tamaños más allá de los finitos, tamaños cuyos números cardinales ℵo, ℵ1, ℵ2... son tan reales o irreales como los cardinales 0, 1, 2...
Al decir del hotelero David Hilbert, esa jerarquía infinita de tamaños transfinitos es el paraíso que Cantor creó para nosotros y del que nadie nos podrá sacar. Salvo que no hayamos entrado, aun si hemos llegado a la entrada. Como Galileo, Borges desconoció esa exuberancia; en su lugar vio 1 (una) única ℵ. Quedó a 1 (un) paso del giro cantoriano.
Disclaimer: este ensayo presupone conocimientos sobre números cardinales transfinitos, de los que hablé en los capítulos 1 y 2 del tríptico “Los transfinitos”.
1.
Para el personaje y narrador Borges, un escritor que quiere poner en palabras el Aleph que acaba de contar que vio, «el problema central es irresoluble: la enumeración, siquiera parcial, de un conjunto infinito». Igual la encara y, por supuesto, la abandona luego de un número finito de términos, que actúa de enorme (no llegan a 55, incluyendo «el inconcebible universo» y contando como uno, por ejemplo, los «convexos desiertos ecuatoriales y cada uno de sus granos de arena»). Si pudiera completarla, el conjunto de imágenes de «todos los lugares del orbe» sería enumerablemente infinito (o sea, tan grande como el de los números naturales, que pueden acompañar cualquier enumeración infinita).
Del mismo rango son los otros infinitos que inventa o comenta el autor Borges en toda su obra. Y lo afirmo incluso sabiendo que puede que no estén todos en esta lista; afirmo que si dejé alguno afuera, es un infinito enumerable:
-
• los infinitos circulares (el eterno retorno y su avatar tipográfico, la biblioteca periódica de Babel; la noche en que las mil y una se convierten en un ciclo);
• los infinitos ramificados (el jardín de bifurcaciones; la versión demiurga o divina de la novela regresiva de Herbert Quain April March, con «infinitas historias, infinitamente ramificadas»);
• los infinitos lineales que suman (la eternidad de “El inmortal”; la perpetuidad de “La duración del infierno”);
• los infinitos lineales que dividen (el libro de arena; el «laberinto griego que es una línea única, recta», que le pide Lönnrot a Scharlach para la próxima vez que lo mate);
• ¿etcétera?
En esta interpretación con aritmética transfinita, lo que hace no enumerablemente infinito al conjunto de las imágenes provistas por el Aleph es que resulta de multiplicar «cada cosa» por los 2ℵo miradores, «los puntos del universo»: 1 × 2ℵo = 2ℵo imágenes.
Si en vez de 1 cosa querés considerar todas, o son muchas pero finitas o son infinitas pero enumerables (o sea, ℵo); en cualquier caso, el resultado (el número de imágenes aléficas) es el mismo:
- n × 2ℵo = 2ℵo;
ℵo × 2ℵo = 2ℵo.
- 2ℵo × 2ℵo = 2ℵo.
2.
Después de narrar los hechos, una Posdata del 1º de marzo de 1943 los actualiza y los comenta. A partir de ahí, al Aleph le sucede lo que sucede en el Aleph: es visto desde distintos puntos (no todos, sólo una muestra). Algunos se refieren al nombre elegido por Daneri, la letra hebrea ℵ:
...también se dijo que tiene la forma de un hombre que señala el cielo y la tierra, para indicar que el mundo inferior es el espejo y es el mapa del superior; para la Mengenlehre, es el símbolo de los números transfinitos, en los que el todo no es mayor que alguna de las partes.El personaje Borges acá (y el autor Borges en toda su obra) nos muestra hasta dónde entendió o aceptó —en todo caso, hasta dónde manejó— los números transfinitos y la Teoría de Conjuntos («la Mengenlehre», que en el cuento traducido al inglés se convierte en la «Cantor's Mengenlehre»): hasta ℵo y sus equipotencias contraintuitivas entre el todo y una parte infinita suya (deberían ser diferentes —creemos— y son iguales —sabemos—).
Las dos referencias a la letra que da nombre al Aleph apuntan a lo mismo. La primera evoca una autorrepresentación por la que Borges se interesa en “Magias parciales del Quijote”: la tierra es el espejo y es el mapa del cielo como el mapa de Inglaterra que imagina Royce, hecho sobre una porción de su suelo, refleja todo el territorio, incluyendo a esa porción y por lo tanto al mapa mismo.En “Abenjacán el Bojarí, muerto en su laberinto”, cuando el matemático Unwin le dice a su amigo poeta: «opté por olvidar tus absurdidades y pensar en algo sensato», Dunraven lo chicanea: «En la teoría de los conjuntos, digamos».
Para la segunda referencia, en “La doctrina de los ciclos” Borges le atribuye el argumento de esa equipotencia a Cantor; en “La perpetua carrera de Aquiles y la tortuga”, a Russell; en todo lo demás coinciden palabra a palabra, con pocas salvedades:
La operación de contar no es otra cosa para él [Cantor] que la de equiparar series.
Para Russell, la operación de contar es (intrínsecamente) la de equiparar dos series.
Por ejemplo, si los primogénitos de todas las casas de Egipto fueron matados por el Ángel, salvo los que habitaban en casas que tenía en la puerta una señal roja, es evidente que tantos se salvaron como señales rojas había, sin que esto importe enumerar cuántos fueron. Aquí es indefinida la cantidad; otras agrupaciones hay en que es infinita. El conjunto de los números naturales es infinito, pero es posible demostrar que son tantos los impares como los pares.
Al 1 corresponde el 2
La prueba es tan irrefutable como baladí, pero no difiere de la siguiente de que hay tantos múltiplos de tres mil dieciocho como números hay —sin excluir de éstos al tres mil dieciocho y sus múltiplos.
Al 3 corresponde el 4
Al 5 corresponde el 6, etcétera.
Al 1 corresponde el 3.018
Cabe afirmar lo mismo de sus potencias, por más que éstas se vayan rarificando a medida que progresemos.
Al 2 corresponde el 6.036
Al 3 corresponde el 9.054
Al 4 corresponde el 12.072, etcétera.
Al 1 corresponde el 3.018
Al 2 corresponde el 3.0182, el 9.108.324
Al 3 ..., etcétera.
3.
Siglos antes, comparando las potencias de 2 y todos los enteros, Galileo interpretaba el mismo resultado de otra manera: esa equipotencia absurda entre la parte y el todo venía a demostrar que las nociones de igual que, mayor que y menor que no son aplicables a conjuntos infinitos, porque de hacerlo se desembocaría en ese sinsentido de partida (no parece muy virtuoso el círculo).
El primero que da vuelta esa interpretación (de sinsentido a rasgo definitorio) es también el primero que usa el término Menge (conjunto): Bernard Bolzano. Un alumno suyo publica en 1854, tres años después de su muerte, Paradojas del infinito, donde Bolzano da la definición de conjunto infinito que décadas después retomarán Dedekind y Cantor, y que Russell divulgará. Borges (en ambos ensayos) la glosa así:
Una genial aceptación de estos hechos ha inspirado la fórmula de que una colección infinita —verbigracia, la serie de los números naturales— es una colección cuyos miembros pueden desdoblarse a su vez en series infinitas.En “La doctrina de los ciclos” agrega a continuación un paréntesis con la definición canónica:
(Mejor, para eludir toda ambigüedad: conjunto infinito es aquel conjunto que puede equivaler a uno de sus conjuntos parciales.)Borges tiene un pie en una concepción matemática del infinito y el otro en una filosófica. En ésta, no hay números no finitos con los que se pueda operar (y después de todo «los números no existen, [...] son meras ficciones lógicas»); lo que hay es «un concepto que es el corruptor y el desatinador de los otros» (las dos citas son de “Avatares de la tortuga”). En breve, a la corrupción y el desatino se unirá la descomposición.
Más allá de con qué pie pisa más fuerte, mi punto es que Borges no maneja una parte del concepto cantoriano de infinito: justo la parte que escapa del argumento finitista de que no es un número porque no hay más que 1 (una) magnitud así (en una serie no hay 2 (dos) o más maneras de no tener un último término: todas son igualmente infinitas, se razona).
Galileo pudo ver en la equipotencia todo-parte una demostración por el absurdo de la imposibilidad de que un conjunto infinito sea mayor, menor o igual que otro (o sea, de que les valga la ley de la tricotomía). Cantor demostró que sí puede y debe, y desbarató la conclusión que Galileo sacó de las irreprochables pruebas de equipotencia. Moraleja: la tricotomía también rige para colecciones y estructuras infinitas. Si se entiende esto, se abandona la idea de que el infinito no es una magnitud o de que es sólo 1 (una).Mientras asumíamos que el dominio de lo finito era el único, asumíamos que sus leyes eran las únicas y, por lo tanto, universales. Por ejemplo: para todo todo, ninguna parte puede medir lo mismo. Se maneja con información deficiente, pero es una conclusión deductiva. Inductiva es una que se le parece; la cito del prólogo que Borges escribe para el libro Matemáticas e imaginación, de Edward Kasner y James Newman:
Horacio, para figurar lo imposible, habló de cisnes negros; mientras pulía su verso, tenebrosas bandadas de cisnes surcaban los ríos de Australia.El cisne negro del milenario sentido común finitista se llama Georg Cantor y viene durando más de 1 (un) siglo. Abrió el cuadro de los números enteros positivos como Borges el del espacio, que va de la casa romana de Horacio a los cielos anacrónicamente australianos (de una punta a la otra y de un interior a un exterior). Entraron en cuadro los dos imposibles: el del reducto del poeta (los cisnes negros) y el del reducto finitista (las partes tan numerosas como el todo). Con Cantor, lo finito pasó de único a ínfimo, la Primera Clase Numérica de una infinidad.
Visto desde la Segunda Clase Numérica, el dato de que en una serie no hay 2 (dos) o más maneras de no tener un último término significa que cualquier progresión infinita bien ordenada va a trazar el mismo dibujo: x, x, x, x... (el primer —y menor— tipo de orden transfinito, que es lo que designa el número ordinal ω).
4.
Borges no muestra en ningún lugar de su obra haber llegado a la idea de un conjunto infinito mayor que otro conjunto infinito, que es contraintuitiva en el polo opuesto de la igualdad todo-parte, en la no equipotencia (deberían ser iguales —creemos— y son diferentes —sabemos—). Y no creo que de haberla conocido y comprendido se hubiera privado de escribir sobre esa diferencia entre infinitos que parecían iguales tanto o más de lo que escribió sobre la equipotencia entre infinitos que parecían diferentes.
Pero la cosa es más complicada. Por un lado, en el capítulo II (“Más allá del googol”) de Matemáticas e imaginación se exponen ambos golpes contraintuitivos del infinito matemático; si Borges leyó y entendió el segundo, se llevó el secreto a la tumba. Lo mismo vale para el capítulo 8, “Números cardinales transfinitos”, de Introducción a la filosofía matemática (Bertrand Russell), libro que Borges referencia en los dos ensayos que tiene en Discusión sobre la carrera de Aquiles y la tortuga.
Por otro lado, Borges sí menciona conjuntos que tienen 2ℵo elementos. Hace lo mismo que Galileo (Salviati mediante): además de usar el conjunto de números naturales y subconjuntos suyos, ilustra la equipotencia transfinita todo-parte con el conjunto de puntos que hay en todo el universo y los que hay en cualquier porción suya. Escribe en “La perpetua carrera de Aquiles y la tortuga”:
La parte, en esas elevadas latitudes de la numeración, no es menos copiosa que el todo: la cantidad precisa de puntos que hay en el universo es la que hay en un metro de universo, o en un decímetro, o en la más honda trayectoria estelar.Pero Borges, al igual que Galileo, no distingue estos conjuntos de 2ℵo puntos de otros conjuntos también infinitos pero inferiores. En “La doctrina de los ciclos” iguala uno denso (el de las ℵo fracciones que hay entre otras dos) con uno continuo (el de los 2ℵo puntos que hay entre otros dos):
¿Qué fracción enumeraremos después de 1/2? No 51/100 porque más cerca está 201/400; no 201/400 porque más cerca... Igual sucede con los puntos, según Georg Cantor. Podemos siempre intercalar otros más, en número infinito.Es cierto que entre dos fracciones hay infinitas fracciones y que entre dos puntos hay infinitos puntos, pero este infinito es mayor que aquel. Y también es cierto que Borges no los iguala expresa sino tácitamente: si no agrega que esas infinitudes no miden igual, deja que se entienda que sí.
¿Es lo que cree? ¿Es algo que da por sentado? ¿Es algo que no cuestiona, o que ni siquiera ha llegado a plantearse? Creo que es más probable que no lo mencione porque lo desconoce que porque lo conoce y lo calla. No creo que silenciara algo así: es un freak conceptual de los que le gustan, que tienen el sabor paradojal de ser «absurdidades» establecidas por un rigor racional.
5.
Un rigor así deshace las «absurdidades» de Dunraven y al menos otras cinco. Pero a la equipotencia transfinita todo-parte Borges no la deshace: la usa para deshacer el eterno retorno (en “La doctrina de los ciclos”) y la persecución infinita (en “La perpetua carrera de Aquiles y la tortuga”). La primera demolición lo deja satisfecho:
El roce del hermoso juego de Cantor con el hermoso juego de Zarathustra es mortal para Zarathustra. Si el universo consta de un número infinito de términos, es rigurosamente capaz de un número infinito de combinaciones —y la necesidad de un eterno retorno queda vencida. Queda su mera posibilidad, computable en cero.Cantor (o Russell, para el segundo Borges) usado para disolver a Zenón queda así:
Cada sitio ocupado por la tortuga guarda proporción con otro de Aquiles, y la minuciosa correspondencia, punto por punto, de ambas series simétricas basta para publicarlas iguales.Para decir la insatisfacción en que lo deja esta demolición, Borges da los argumentos de su consultado James:
James, sin recusar la superioridad técnica del contrario, prefiere disentir. Las declaraciones de Russell (escribe) eluden la verdadera dificultad, que atañe a la categoría creciente del infinito, no a la categoría estable, que es la única tenida en cuenta por él, cuando presupone que la carrera ha sido corrida y que el problema es el de equilibrar los trayectos.En el mismo ensayo, ya descartada esta solución de la paradoja, Borges da su «opinión», que «corre el doble riesgo de parecer impertinente y trivial»: «Zenón es incontestable, salvo que confesemos la idealidad del espacio y del tiempo». Se explaya en “Avatares de la tortuga”, donde usa la paradoja como prueba o testimonio de que «hemos soñado el mundo [...] pero hemos consentido en su arquitectura tenues y eternos intersticios de sinrazón para saber que es falso». Ese sueño es un arte y «el arte —siempre— requiere irrealidades visibles»:
Admitamos lo que todos los idealistas admiten: el carácter alucinatorio del mundo. Hagamos lo que ningún idealista ha hecho: busquemos irrealidades que confirmen ese carácter. Las hallaremos, creo, en las antinomias de Kant y en la dialéctica de Zenón.Hay hallazgos que pacifican o sanan. Si no puedes con tus enemigos, únete a ellos. La salida idealista es otra manera de "solucionar" la paradoja, esta vez sin intentar deshacerla (o habiendo fracasado en el intento). Recordemos el peligro a conjurar.
Como buen vector del infinito, la perpetua carrera —vuelvo al otro ensayo— causa estragos acordes: atenta contra la realidad del espacio y del tiempo y hace que se alarmen de aventura por ella «la existencia en un cuerpo físico, la permanencia inmóvil, la fluencia de una tarde en la vida» (existir, permanecer, fluir: la pieza de un juego y sus dos movimientos). La culpa de que Zenón se porte así está clara:
Esa descomposición es mediante la sola palabra infinito, palabra (y después concepto) de zozobra que hemos engendrado con temeridad y que una vez consentida en un pensamiento, estalla y lo mata.¡Como para no horrorizarse! El sueño de la razón produce monstruos y el del infinito paradojas explosivas. Y como ya se dijo, las paradojas (o inconsistencias o incoherencias) en la narrativa de Borges se resuelven: el orden siempre se reestablece en Ciudad Lógica.
6.
Por lo que fuere, Borges se maneja (como se manejaría) con la convicción, lúcida o ciega, de que el infinito es 1 (uno), incluso si es el tamaño (máximo) que distintos conjuntos pueden tener (entre ellos, una parte infinita y su todo). En cambio, un infinito mayor que otro ya son 2 (dos) infinitos: ya hay una jerarquía de tamaños más allá de los finitos, tamaños cuyos números cardinales ℵo, ℵ1, ℵ2... son tan reales o irreales como los cardinales 0, 1, 2...
Al decir del hotelero David Hilbert, esa jerarquía infinita de tamaños transfinitos es el paraíso que Cantor creó para nosotros y del que nadie nos podrá sacar. Salvo que no hayamos entrado, aun si hemos llegado a la entrada. Como Galileo, Borges desconoció esa exuberancia; en su lugar vio 1 (una) única ℵ. Quedó a 1 (un) paso del giro cantoriano.
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